[論文レビュー] Interpolation analogues of Schur Q-functions

Vladimir Ivanov|ArXiv.org|May 29, 2003

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 24被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、シフト階乗冪を用いて一般化する、古典的シュールQ関数の補間的類似物としての多パラメータシュールQ関数を導入する。主な結果として、マーク付きシフトテーブルックスを用いた組合せ的公式、ニモ・タイプのペフィアン恒等式、ギアムベリ・シュール型ペフィアン公式、1行および2行関数の母関数、および基底間の明示的変換係数が得られる。中心的な貢献は、スケーブド・シフトド・ヤング図の次元をペフィアン形式で表した点である。

ABSTRACT

We introduce interpolation analogues of Schur Q-functions - the multiparameter Schur Q-functions. We obtain for them several results: a combinatorial formula, generating functions for one-row and two-rows functions, vanishing and characterization properties, a Pieri-type formula, a Nimmo-type formula (a relation of two Pfaffians), a Giambelli-Schur-type Pfaffian formula, a determinantal formula for the transition coefficients between multiparameter Schur Q-functions with different parameters. We write an explicit Pfaffian expression for the dimension of skew shifted Young diagram. This paper is a continuation of author's paper math.CO/0303169 and is a partial projective analogue of the paper by A. Okounkov and G. Olshanski q-alg/9605042, and of the paper by G. Olshanski, A. Regev and A. Vershik math.CO/0110077.

研究の動機と目的

• 古典的シュールQ関数の補間的類似物としての多パラメータシュールQ関数を定義し、それらを研究すること。
• 通常のシュールQ関数の既知の結果を一般化する、これらの関数の組合せ的および代数的公式を確立すること。
• スケーブド・シフトド・ヤング図の次元をペフィアン形式で表すことを目的とし、スピン対称群およびセルゲーエフ群の表現理論と関連付けること。
• 異なる列 $ (a_k) $ および $ (b_k) $ でパrameter化された基底間の母関数および変換係数を提供すること。

提案手法

• 通常の単項式を一般化された冪 $ (x - a_1)(x - a_2)\cdots(x - a_k) $ に置き換えることで、多パラメータシュールPおよびQ関数 $ P_{\lambda;a} $ および $ Q_{\lambda;a} $ を定義する。ただし $ a_1 = 0 $ とする。
• ニモ型の公式を確立し、$ P_{\lambda;a} $ を2つのペフィアンの比として表現する。
• マーク付きシフトテーブルックスを用いて $ Q_{\lambda;a} $ の組合せ的公式を導出し、古典的場合に比べて追加の対称性を有する。
• 1行および2行関数の母関数を用い、無限積および一般化された級数を含む新しい恒等式を証明する。
• ギアムベリ・シュール型の公式を証明し、$ Q_{\lambda;a} $ を2行関数 $ Q_{(\lambda_i,\lambda_j);a} $ のペフィアンとして表現する。
• 対称関数の恒等式と [ORV] の手法を用いて、基底 $ \{Q_{\lambda;a}\} $ と $ \{Q_{\lambda;b}\} $ 間の変換係数を導出し、係数の行列式表現を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シュールQ関数は、多パラメータ一般化冪を用いて、どのように補間型関数に一般化できるか？
• RQ2 多パラメータシュールQ関数の背後にある組合せ的および代数的構造は何か。それらは古典的結果をどのように拡張するか？
• RQ3 これらの補間的類似物に対して、ギアムベリの恒等式に類似したペフィアン公式を確立できるか？
• RQ4 1行および2行多パラメータシュールQ関数の母関数は何か？
• RQ5 異なるパラメータ列 $ (a_k) $ および $ (b_k) $ 間の変換係数はどのように振る舞い、明示的に表現できるか？

主な発見

• ニモ型の公式により、$ P_{\lambda;a} $ が2つのペフィアンの比として表現され、古典的恒等式が一般化される。
• マーク付きシフトテーブルックスを用いた $ Q_{\lambda;a} $ の組合せ的公式が得られ、古典的場合に存在しない追加の対称性を有する。
• 1行関数 $ Q^{*}_{(r)} $ の母関数が導出され、$ \sum_{r=0}^\infty \frac{Q^{*}_{(r)}}{(u\downarrow r)} = \prod_{i=1}^\infty \frac{u+1+x_i}{u+1-x_i} $ が成り立つ。
• 2行関数 $ P_{(k,l);a} $ の母関数が定理8.4を用いて確立され、無限積と双線形恒等式を含む。
• ギアムベリ・シュール型ペフィアン公式により、$ Q_{\lambda;a} $ が $ Q_{(\lambda_i,\lambda_j);a} $ のペフィアンとして表現され、シュールの元々の定義が一般化される。
• 定理7.5で、階乗P関数を用いて、スケーブド・シフトド・ヤング図の次元の明示的ペフィアン表現が与えられ、ナザロフのスピン対称群のキャラクターに関する定理の再証明に用いられる。