[論文レビュー] Intersection cohomology of moduli spaces of vector bundles over curves

Sergey Mozgovoy, Markus Reineke|arXiv (Cornell University)|Dec 13, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 17被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、曲線上の半安定なベクトル bundle のモジュライ空間 $M(r,d)$ の交差コホモロジーを計算するため、曲線に特有の Donaldson-Thomas (DT) 不変量を導入し、再帰的公式を用いて実際に計算可能であることを示す。主な結果は、$M(r,d)$ の交差コホモロジーのホッジ・オイラー多項式が $\mathbb{L}^{\dim M(r,d)/2}$ と DT 不変量 $\mathrm{DT}_{r,d}$ の積に等しいという直接的な関係を確立することであり、これにより交差ベッチ数やホッジ多項式の明示的計算が可能になる。

ABSTRACT

We compute the intersection cohomology of the moduli spaces $M_{r,d}$ of semistable vector bundles having rank $r$ and degree $d$ over a curve. We do this by relating the Hodge-Deligne polynomial of the intersection cohomology of $M_{r,d}$ to the Donaldson-Thomas invariants of the curve. These invariants can be computed by methods going back to Harder, Narasimhan, Desale and Ramanan. More generally, we introduce Donaldson-Thomas classes in the Grothendieck group of mixed Hodge modules over $M_{r,d}$ and relate them to the class of the intersection complex of $M_{r,d}$. Our methods can be applied to the moduli spaces of semistable objects in arbitrary hereditary categories.

研究の動機と目的

• 任意のランク $r$ および次数 $d$ に対して、曲線の genus $g \geq 2$ 上の半安定ベクトル bundle のモジュライ空間 $M(r,d)$ の交差コホモロジーを計算すること。
• 曲線上の連接層の圏における Donaldson-Thomas 不変量を定義し、その計算を行い、DT 理論を遺伝的圏へと拡張すること。
• $M(r,d)$ の交差コホモロジーのホッジ・オイラー多項式とこれらの新しい DT 不変量との明確な関係を確立すること。
• $r,d$ が互いに素でない場合に $M(r,d)$ が特異的となる一般の場合に、既知の $r,d$ が互いに素である場合の結果を、混合ホッジモジュールおよびモチーフ的不変量を用いて一般化すること。

提案手法

• 生成関数 $Q_\tau$ から得られる GIT 商データ $R_{r,d}$ および $G_{r,d}$ のホッジ・オイラー多項式に基づき、$Q_\tau$ のプレチスティック対数を用いて Donaldson-Thomas 不変量 $\mathrm{DT}_{r,d}$ を定義する。
• 仮想的に小さな写像および仮想的交差複体を用いて、商のコホモロジー不変量とモジュライ空間のそれらを関連付ける。
• モチーフ的統合技法を用いて、$M(r,d)$ 上の混合ホッジモジュールのグロテンディーク群における DT クラスを導入し、交差複体と関連付ける。
• $\lambda$-環の理論および混合ホッジモジュールの導来圏における対称モノイダル構造を用いて、不変量の代数的構造を管理する。
• ハードラー＝ナラシンハンおよびシーゲル型の定理に基づく再帰的公式を用いて生成関数 $Q\_\tau$ を計算し、その後、プレチスティック対数を用いて $\mathrm{DT}_{r,d}$ に変換する。
• $\mathrm{DT}_{r,d}$ が $\mathbb{L}^{\pm 1/2}$ における非負の係数を持つ多項式であるという事実を活用し、幾何的に意味のある不変量を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $r$ と $d$ が互いに素でない場合、$M(r,d)$ が特異的となるため、交差コホモロジーをどのように計算できるか。
• RQ2 $M(r,d)$ の交差コホモロジーのホッジ・オイラー多項式と、ベッチ数やモチーフなどの既知の不変量との明確な関係は何か。
• RQ3 カルビ＝ヤウ 3-fold 構造が存在しないにもかかわらず、曲線の文脈で Donaldson-Thomas 不変量を実際に定義し、計算できるか。
• RQ4 新しい DT 不変量は、古典的なハードラー＝ナラシンハン、デサレ＝ラマナン、アティヤ＝ボットの再帰的公式とどのように関係しているか。
• RQ5 $M(r,d)$ の交差コホモロジーは、GIT 商 $R_{r,d} \mathbin{\mkern-10mu}\mathop{\mathrm{/\negmedspace/}} G_{r,d}$ のモチーフ的またはホッジ理論的不変量から回復可能か。

主な発見

• $M(r,d)$ の交差コホモロジーのホッジ・オイラー多項式は、$E(\mathrm{IH}^*(M(r,d))) = \mathbb{L}^{\dim M(r,d)/2} \cdot \mathrm{DT}_{r,d}$ で与えられ、交差ベッチ数への直接的な計算的ブリッジを提供する。
• $g=2$ の $M(2,0)$ に対して、ポincare多項式は $1 + 4y + 7y^2 + 8y^3 + 8y^4 + 8y^5 + \cdots$ であり、キルワンの結果と一致し、手法の妥当性が裏付けられる。
• $g=2$ の $M(3,1)$ に対して、ポincare多項式は $$ \frac{1}{(1-y^2)(1-y^4)^2(1-y^6)} \left( (1-y)^{2g}(1-y^3)^{2g}(1-y^5)^{2g} - y^{4g-2}(1+y^2)^2(1-y)^{4g}(1-y^3)^{2g} + y^{6g-2}(1+y^2+y^4)(1-y)^{6g} \right) $$ であり、明示的に計算されている。
• $g=2$ の $M(4,0)$ に対して、ポincare多項式は $y^{12}$ までの項を含む複雑な有理式で与えられ、ベッチ数は $i=14$ まで $1,4,7,12,26,48,77,120,181,256,331,392,435,464,486,500,504,504$ であり、ポincare双対性が確認されている。
• $g=2$ の $M(4,1)$ に対して、$i$ 番目のベッチ数は $1,4,7,12,26,48,78,128,211,328,476,680,963,1292,1621,1948,2249,2384$ であり、高次元の不変量を計算できる能力が示されている。
• $M(r,d)$ のポincare多項式に $(1-y)^{2g}$ 因子が現れ、固定行列式のモジュライ空間に対応するが、$g=2$ および $g=3$ に対してこの因子が明示的に抽出され、リスト化されている。