[論文レビュー] Intersection theory on moduli spaces of holomorphic bundles of arbitrary rank on a Riemann surface

Lisa C. Jeffrey, Frances Kirwan|ArXiv.org|Aug 23, 1996

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 23被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、g ≥ 2 の種数のリーマン面の上での安定な正則ベクトル束のモジュライ空間における、ウィッテンの交線数に関する公式の厳密な数学的証明を提供する。等長コホモロジーと局所化技術を用いて、M(n,d) のコホモロジーリングにおける交線ペアリングの明示的公式を導出し、それらを用いて M(n,d) 上のラインバンドルの正則切断の空間の次元に関するヴェルリンクデの公式を確立する。

ABSTRACT

We prove formulas (found by Witten in 1992 using physical methods) for intersection pairings in the cohomology of the moduli space M(n,d) of stable holomorphic vector bundles of rank n and degree d (assumed coprime) on a Riemann surface of genus g greater than or equal to 2. We also use these formulas for intersection numbers to obtain a proof of the Verlinde formula for the dimension of the space of holomorphic sections of a line bundle over M(n,d).

研究の動機と目的

• g ≥ 2 の種数のリーマン面上のランク n および次数 d の安定な正則ベクトル束のモジュライ空間 M(n,d) における交線数の数学的に厳密な導出を目的とする。
• 物理的手法によって当初得られたが、ウィッテンが予想した M(n,d) のコホモロジーにおける交線ペアリングの公式の証明を、数学的に行う。
• 導出された交線公式を用いて、M(n,d) 上のラインバンドルの正則切断の空間の次元に関するヴェルリンクデの公式の完全な証明を与える。
• 元の論文においてモジュライ空間の構造およびその等長コホモロジーに関する誤りを是正する。
• 数学的物理と代数幾何学の橋渡しをすることを目的とし、安定なベクトル束の文脈で重要な物理的予測を厳密に検証する。

提案手法

• M(n,d) のモジュライ空間における最大トーラスの作用を解析するため、正則バンドルの空間に等長コホモロジー技術を適用する。
• アティヤ＝ボットの局所化公式を適用して、トーラス作用の固定点に制限することで交線数を計算する。
• キルワンの全射を用いて、M(n,d) のコホモロジーとリーマン面上の接続の空間の等長コホモロジーを関連付ける。
• 等長コホモロジーにおける留数計算を用いて、トートロジカルバンドルのチャーン類およびそれらの交線を計算する。
• M(n,d) 上のユニバーサルバンドルのチャーン類の積の交線数の明示的公式を導出する。
• 導出された公式がウィッテンの物理的予測と一致し、ヴェルリンクデの公式に必要な整合性条件を満たすことを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 g ≥ 2 の種数のリーマン面上のランク n および次数 d の安定な正則ベクトル束のモジュライ空間 M(n,d) のコホモロジーリングにおける交線ペアリングの正確な公式は何か？
• RQ2 ウィッテンのこれらの交線数の物理的導出は、代数幾何学および微分幾何学的手法を用いてどのように厳密に再構成できるか？
• RQ3 導出された交線公式を用いて、M(n,d) 上のラインバンドルの正則切断の空間の次元に関するヴェルリンクデの公式を証明できるか？
• RQ4 リーマン面上の接続の空間の等長コホモロジーの正しい構造は何か？ そして、それは M(n,d) のコホモロジーとどのように関係するか？
• RQ5 交線数は写像類群の作用に関してどのように振る舞い、公式に埋め込まれた対称性は何か？

主な発見

• 著者らは、任意のランク n および次数 d に対して、g ≥ 2 の下で M(n,d) のコホモロジーリングにおける交線ペアリングの明示的公式を導出し、ウィッテンの予想を確認した。
• 交線数は等長コホモロジーにおける局所化によって計算され、M(n,d) の位相的不変量を符号化する等長パラメータの有理関数として得られる。
• 導出された公式がヴェルリンクデの公式と整合することを示し、M(n,d) 上のラインバンドルの正則切断の空間の次元に関する完全な数学的証明が得られた。
• 元のバージョンにおけるキルワン写像およびフレームバンドルの等長コホモロジーに関する構造に関する誤りが、改訂版で是正された。
• 交線数は有理関数の留数として表現され、写像類群の作用に関して不変であることが確立された。
• ヴェルリンクデ次元の最終的な公式は、既知の物理的予測と一致しており、すべての互いに素なペア (n,d) および g ≥ 2 に対して有効である。