[論文レビュー] Intertwining, Excursion Theory and Krein Theory of Strings for Non-self-adjoint Markov Semigroups

Pierre Patie, Mladen Savov+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 27, 2017

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 29被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、拡張理論とクレインのストリング理論を用いて、非自己随伴マルコフ半群の間の相互作用関係を確率論的かつスペクトル的に確立する。相互作用関係により境界点における正規化された局所時間の共有が示され、クレインのスペクトル理論が、逆局所時間のステイエルジェス測度に対するスペクトル測度の絶対連続性を証明することで拡張される。この結果は、正の自己相似的および反射型一般化ラゲル半群において、スペクトルギャップ推定値とともに検証されている。

ABSTRACT

In this paper, we start by showing that the intertwining relationship between two minimal Markov semigroups acting on Hilbert spaces implies that any recurrent extensions, in the sense of Itô, of these semigroups satisfy the same intertwining identity. Under mild additional assumptions on the intertwining operator, we prove that the converse also holds. This connection, which relies on the representation of excursion quantities as developed by Fitzsimmons and Getoor, enables us to give an interesting probabilistic interpretation of intertwining relationships between Markov semigroups via excursion theory: two such recurrent extensions that intertwine share, under an appropriate normalization, the same local time at the boundary point. Moreover, in the case when one of the (non-self-adjoint) semigroup intertwines with the one of a quasi-diffusion, we obtain an extension of Krein's theory of strings byshowing that its densely defined spectral measure is absolutely continuous with respect to the measure appearing in the Stieltjes representation of the Laplace exponent of the inverse local time. Finally, we illustrate our results with the class of positive self-similar Markov semigroups and also the reflected generalized Laguerre semigroups. For the latter, we obtain their spectral decomposition and provide, under some conditions, a perturbed spectral gap estimate for its convergence to equilibrium.

研究の動機と目的

• マルコフ半群間の相互作用関係の確率論的解釈を、拡張理論を用いて行う。
• スペクトル測度を逆局所時間のステイエルジェス測度に関連付けることにより、クレインのストリング理論を非自己随伴半群へ拡張する。
• 正の自己相似的および反射型一般化ラゲル半群のスペクトル分解と収束推定値を提供する。
• 再帰的拡張間の相互作用関係が境界点における共通の正規化局所時間を持つことを示す。
• 非自己随伴半群のスペクトル測度が、準拡散と相互作用する場合、逆局所時間のステイエルジェス測度に関して絶対連続であることを証明する。

提案手法

• フィッツシモンズとギートゥアの拡張表現を用いて、相互作用関係を境界点における共通の正規化局所時間に関連付ける。
• 伊藤の再帰的拡張の観点から、最小半群の相互作用関係をその再帰的対応物に関連付ける。
• 逆局所時間のラプラス指数のスペクトル分解技術とステイエルジェス表現を用いて、スペクトル測度を分析する。
• 演算子 $\Lambda$ 及びその随伴 $\Lambda^\dagger$ を用いて、元の半群と双対半群の間の相互作用恒等式を確立する。
• 相互作用演算子 $\Lambda$ の有界性および閉包性を用いて、$L^2(\mathfrak{m})$ における収束推定値を導出する。
• 正規直交多項式 $\mathcal{P}_n$ 及び重み $\mathfrak{c}_n(-\theta)$ を用いた $P_t$ と $Q_t$ のスペクトル展開を適用し、収束境界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二つの最小マルコフ半群間の相互作用関係は、それらの再帰的拡張における共通の確率的構造を示唆するか？
• RQ2 境界点における局所時間は、再帰的拡張の相互作用を正規化された拡張量として解釈するために用いることができるか？
• RQ3 非自己随伴半群のスペクトル測度が、逆局所時間のステイエルジェス測度に関して絶対連続であるための条件は何か？
• RQ4 相互作用関係と拡張理論を用いて、クレインのストリング理論を非自己随伴マルコフ半群へどのように拡張できるか？
• RQ5 正の自己相似的および反射型一般化ラゲル半群において、相互作用関係のもとで得られるスペクトル分解および収束速度推定値は何か？

主な発見

• 最小マルコフ半群間の相互作用関係は、それらの再帰的拡張が境界点で同じ正規化局所時間を持つことを示唆する。
• 準拡散と相互作用する非自己随伴半群のスペクトル測度は、逆局所時間のステイエルジェス測度に関して絶対連続である。
• 反射型一般化ラゲル半群に対して、正規直交多項式と関連する重みを用いたスペクトル分解が得られる。
• 特定の条件下で、平衡への収束に対する摂動スペクトルギャップ推定値が導出され、そのレートは $C_t \|\Lambda_\phi g_m - f\|_{\mathfrak{m}}^2$ で有界である。
• $P_t f$ の収束速度は、$t > T\mathfrak{b}$ に対して $\frac{\mathfrak{b}+1}{1-\theta}e^{-2t}\|f - \mathfrak{m}f\|_{\mathfrak{m}}^2$ で有界であり、$T\mathfrak{b} = \frac{1}{2}\ln\left(\frac{\mathfrak{b}+2}{2-\theta}\right)$ である。
• 演算子 $\mathcal{S}$ は $\mathcal{S}((c_n)) = \sum_{n=0}^\infty c_n \mathfrak{c}_n^{-1/2}(-\theta) \mathcal{P}_n$ で定義され、ノルム $|||\mathcal{S}|||$ を持つ有界作用素であり、$L^2(\mathfrak{m})$ における収束制御を可能にする。