[論文レビュー] Intertwining vertex operators and certain representations of sl(n)^

Corina Calinescu|ArXiv.org|Nov 17, 2006

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 22被引用数 32

ひとこと要約

本稿では、 intertwining な頂点演算子の完全系列を構成することで、$\widehat{\mathfrak{sl}}(l+1)$ のレベル1標準モジュールの主部分空間の階数付き次元の完全な再帰関係を導出し、Rogers-Ramanujan型の恒等式を一般化する。頂点演算子技法を用い、定義関係の完全性を証明することで、Georgiev が組合せ的基底を用いて得た既存の階数付き次元を再現し、これらの部分空間に対して一様な代数的枠組みを提供する。

ABSTRACT

We study the principal subspaces, introduced by B. Feigin and A. Stoyanovsky, of the level 1 standard modules for $\hat{\goth{sl}(l+1)}$ with $l \geq 2$. In this paper we construct exact sequences which give us a complete set of recursions that characterize the graded dimensions of the principal subspaces of these representations. This problem can be viewed as a continuation of a new program to obtain Rogers-Ramanujan-type recursions, which was initiated by S. Capparelli, J. Lepowsky and A. Milas. In order to prove the exactness of the sequences we use intertwining vertex operators and we supply a proof of the completeness of a list of relations for the principal subspaces. By solving these recursions we recover the graded dimensions of the principal subspaces, previously obtained by G. Georgiev using a different method.

研究の動機と目的

• レベル1の標準モジュールの主部分空間の階数付き次元を、$\widehat{\mathfrak{sl}}(l+1)$ の高ランクアフィンリー代数に一般化したRogers-Ramanujan再帰プログラムを展開すること。
• 完全系列を用いた intertwining な頂点演算子による、レベル1標準モジュールの主部分空間の階数付き次元の特徴づけ。
• 頂点演算子手法を用いて、主部分空間を定義する関係の完全性の証明。
• Georgiev が事前に得た組合せ的結果を確認する代数的再現により、これらの部分空間の階数付き次元を再構成すること。

提案手法

• 普遍包あらゆる代数 $\widehat{U}(\bar{n})$ の普遍完備化における完全系列を生成する intertwining な頂点演算子の構成。
• 主部分空間 $W(\Lambda_i)$ を、$I_{\Lambda_i}$ を最高重層ベクトル $v_{\Lambda_i}$ の annihilator とする $U(\bar{n})/I_{\Lambda_i}$ の商として定義。
• すべての $t \in \mathbb{Z}$ および $j = 1,\dots,l$ に対して、$R_t^{[j]} = \sum_{m_1 + m_2 = t} x_{\alpha_j}(m_1)x_{\alpha_j}(m_2)$ によって生成されるイデアル $\mathcal{J}$ を特定。
• 完全系列の性質を用いて、生成関数 $\chi_0(x_1,\dots,x_l;q)$ および $\chi_j'(x_1,\dots,x_l;q)$ の再帰関係系を導出。
• 反復代入による再帰関係の解法により、$q$-Pochhammer 記号を用いた閉形式の生成関数が得られる。
• Georgiev の組合せ的基底構成との比較により、解の整合性を検証。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 レベル1の標準モジュールの $\widehat{\mathfrak{sl}}(l+1)$ の主部分空間の階数付き次元は、どのように代数的に特徴づけられるか？
• RQ2 主部分空間を定義する関係の完全な集合とは何か？ そして、頂点演算子手法を用いてその完全性はどのように証明できるか？
• RQ3 intertwining な頂点演算子を用いて、Rogers-Ramanujan型再帰関係を高ランクアフィンリー代数に一般化できるか？
• RQ4 主部分空間の生成関数は、$\mathfrak{sl}(l+1)$ の一般化されたカルタン行列とどのように関係するか？
• RQ5 再帰関係系の解が、Georgiev が階数付き次元の組合せ的公式で得たものと等価であるか？

主な発見

• 主部分空間 $W(\Lambda_0)$ の階数付き次元は、$\chi_0(x_1,\dots,x_l;q) = \sum_{r_1,\dots,r_l \geq 0} \frac{q^{r_1^2 + \cdots + r_l^2 - r_2r_1 - \cdots - r_l r_{l-1}}}{(q)_{r_1} \cdots (q)_{r_l}} x_1^{r_1} \cdots x_l^{r_l}$ で与えられる。
• 各 $j = 1,\dots,l$ に対して、階数付き次元 $\chi_j'(x_1,\dots,x_l;q)$ は、$\sum_{r_1,\dots,r_l \geq 0} \frac{q^{r_1^2 + \cdots + r_l^2 + r_j - r_2r_1 - \cdots - r_l r_{l-1}}}{(q)_{r_1} \cdots (q)_{r_l}} x_1^{r_1} \cdots x_l^{r_l}$ に等しい。
• 全階数付き次元 $\chi_j(x_1,\dots,x_l;q)$ は、$\chi_j = x_1^{\langle \lambda_1, \lambda_j \rangle} \cdots x_l^{\langle \lambda_l, \lambda_j \rangle} q^{\frac{1}{2}\langle \lambda_j, \lambda_j \rangle} \chi_j'$ によって $\chi_j'$ と関係づけられる。
• 導出された再帰関係は、一般化されたカルタン行列 $A = (a_{ij})$ を用いて表現されたものと等価であり、$\chi_0$ は $\chi_0(x_1,\dots,x_l;q) = \chi_0(x_1q,\dots,x_l;q) + x_1 q \chi_0(x_1q^2, x_2q^{-1}, \dots, x_l;q)$ を満たす。
• 再帰関係系の解は、Georgiev が分割に色付き荷重を用いた組合せ的基底を用いて得た既存の階数付き次元と一致する。
• intertwining な頂点演算子を用いて構成された完全系列は、主部分空間の定義関係の完全性の新たな代数的証明を提供する。