[論文レビュー] Interval colorings of complete bipartite graphs and trees

Rafayel R. Kamalian|arXiv (Cornell University)|Aug 12, 2013

Advanced Graph Theory Research参考文献 2被引用数 34

ひとこと要約

本稿は完全二部グラフと木における区間辺彩色を調査し、木が区間彩色可能であるための必要十分条件を特定する。具体的には、木Dが区間彩色可能であることと、その最大次数Δ(D)が最小区間彩色サイズw(D)に等しく、最大区間彩色サイズW(D)がD内の最大長さのパスの長さM(D)に等しいことと同値である。さらに、w(D)からW(D)までの任意のtに対して区間t-彩色が存在することを示し、木における区間彩色可能性を完全に特徴づけた。

ABSTRACT

A translation from Russian of the work of R.R. Kamalian "Interval colorings of complete bipartite graphs and trees", Preprint of the Computing Centre of the Academy of Sciences of Armenia, Yerevan, 1989. (Was published by the decision of the Academic Council of the Computing Centre of the Academy of Sciences of Armenian SSR and Yerevan State University from 7.09.1989).

研究の動機と目的

• 完全二部グラフK_{m,n}および木における区間彩色可能性を特徴づけること。
• このようなグラフにおける最小区間彩色サイズw(G)および最大区間彩色サイズW(G)を特定すること。
• 木におけるすべてのt ∈ [w(D), W(D)]に対して区間t-彩色が存在するための必要十分条件を確立すること。
• 木においてw(D) = Δ(D)およびW(D) = M(D)であることを証明すること。ここでM(D)はD内の最大長さのパスの長さを表す。

提案手法

• 区間t-彩色を、各頂点の接続辺が連続する色をとる適切な辺彩色として定義する。
• σ(m,n) = gcd(m,n)を計算するためにユークリッドの互除法を用い、特定の行列構成における最小色数の上限を求める。
• 行列H(μ,ν)を(0,1)-行列として導入し、『集約された』行および列といった性質を定義して、辺彩色をモデル化する。
• r'-正則およびr''-正則行列の間の同値性と相容性を確立し、行列幅wの下界を導出する。
• ユークリッドの互除法におけるステップ数s(m,n)に関する帰納法を用いて、行列補題（w ≥ m + n − σ(m,n)）を証明する。
• 頂点数|E(D)|に関する帰納法を用い、端辺の削除およびパスに基づく彩色戦略を適用することで、木においてすべてのt ∈ [Δ(D), M(D)]に対して区間t-彩色が存在することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの完全二部グラフK_{m,n}に対して区間彩色が存在するか？
• RQ2 完全二部グラフおよび木における区間彩色に必要な最小色数w(G)および最大色数W(G)は何か？
• RQ3 どのような条件下で、木Dがすべてのt ∈ [w(D), W(D)]に対して区間t-彩色をもつのか？
• RQ4 最大区間彩色サイズW(D)は、木Dの構造とどのように関係しているか？

主な発見

• 完全二部グラフK_{m,n}は、mとnがともに奇数でない場合に限り区間彩色可能であり、w(K_{m,n}) = m + n − gcd(m,n)、W(K_{m,n}) = m + n − 1である。
• 任意の木Dに対して、w(D) = Δ(D)（Dの最大次数）、W(D) = M(D)（D内の最大長さのパスの長さ）が成り立つ。
• Δ(D) ≤ t ≤ M(D)ならば、Dは区間t-彩色をもつ。このような彩色は、辺数に関する帰納法により構成可能である。
• 木における区間彩色の存在は完全に特徴づけられている：それはw(D) = Δ(D)かつW(D) = M(D)であることと同値である。
• 行列補題により、同値で互いに相容れ合い、かつ集約された(0,1)-行列に対して、幅wはw ≥ m + n − gcd(m,n)を満たすことが示され、この下界はタイトである。