[論文レビュー] Interval colorings of edges of a multigraph

Armen S. Asratian, Raffi Kamalian|arXiv (Cornell University)|Jan 31, 2014

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 5被引用数 58

ひとこと要約

本稿では、指定された集合内の頂点に接する辺が連続する色で塗られるような多部グラフにおける区間的および連続的辺彩色を調査する。このような彩色の存在に必要な十分条件を確立し、二部多部グラフにおける連続的彩色の認識問題がNP完全であることを証明するとともに、特に三角形を含まない連結多部グラフでは、区間的彩色に必要な色の数が最大で |V|−1 個であることを示している。

ABSTRACT

Let $G=(V_1(G),V_2(G),E(G))$ be a bipartite multigraph, and $R\subseteq V_1(G)\cup V_2(G)$. A proper coloring of edges of $G$ with the colors $1,\ldots,t$ is called interval (respectively, continuous) on $R$, if each color is used for at least one edge and the edges incident with each vertex $x\in R$ are colored by $d(x)$ consecutive colors (respectively, by the colors $1,\ldots,d(x))$, where $d(x)$ is a degree of the vertex $x$. We denote by $w_1(G)$ and $W_1(G)$, respectively, the least and the greatest values of $t$, for which there exists an interval on $V_1(G)$ coloring of the multigraph $G$ with the colors $1,\ldots,t$. In the paper the following basic results are obtained. extbf{Theorem 2.} For an arbitrary $k$, $w_1(G)\leq k\leq W_1(G)$, there is an interval on $V_1(G)$ coloring of the multigraph $G$ with the colors $1,\ldots,k$. extbf{Theorem 3.} The problem of recognition of the existence of a continuous on $V_1(G)$ coloring of the multigraph $G$ is $NP$-complete. extbf{Theorem 4.} If for any edge $(x,y)\in E(G)$, where $x\in V_1(G)$, the inequality $d(x)\geq d(y)$ holds then there is a continuous on $V_1(G)$ coloring of the multigraph $G$. extbf{Theorem 1.} If $G$ has no multiple edges and triangles, and there is an interval on $V(G)$ coloring of the graph $G$ with the colors $1,\ldots,k$, then $k\leq|V(G)|-1$.

研究の動機と目的

• 指定された部分集合 R に属する頂点に接する辺が連続する色で塗られるような多部グラフにおける区間的および連続的辺彩色を研究すること。
• このような彩色の存在に必要な十分条件を特定すること。
• 二部多部グラフにおける連続的彩色の認識の複雑さを分析すること。
• 三角形を含まない多部グラフにおける区間的彩色に必要な色数の上界を確立すること。
• 特に正則および二部グラフの場合に、区間的または連続的彩色を許容する多部グラフの構造的性質を調査すること。

提案手法

• 多部グラフ G における辺の区間的および連続的彩色を定義し、指定された集合 R に属する各頂点 x に対して、その隣接辺が d(x) 個の連続する色で塗られるようにする。
• t 色を用いた区間的彩色を許容する多部グラフを分類するための集合 N_t および N を導入する。
• 構成的彩色技法を用いる：色クラスの高い方から順に辺を再彩色することで、彩色の正しさを保ちつつ色数を削減する。
• パスに基づく議論と背理法を用いて、三角形を含まないグラフにおける最大色数 W(G) の上限を導出する。
• 二部多部グラフにおける連続的彩色の問題を、交互路を用いたマッチングとパスの再彩色問題に還元する。
• 既知のNP完全問題からの還元を用いてNP完全性を証明する。特に、固定された色数を伴う辺彩色問題を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような条件下で、多部グラフが頂点部分集合上で区間的または連続的辺彩色を許容するか？
• RQ2 多部グラフにおける区間的彩色に必要な色数の最小値と最大値は何か？
• RQ3 二部多部グラフが頂点部分集合上で連続的彩色を許容するかどうかを認識する問題は、NP完全か？
• RQ4 三角形を含まない多部グラフにおける区間的彩色に必要な色数に対して上界を確立できるか？
• RQ5 多部グラフのどのような構造的性質が、Δ(G) 色を用いた連続的彩色の存在を保証するか？

主な発見

• 任意の多部グラフ G ∈ N に対して、彩色指数 χ′(G) は Δ(G) に等しく、区間的彩色は最小の色数で辺彩色を実現することを意味する。
• G が正則で区間的彩色を許容する場合、χ′(G) = Δ(G) であり、Δ(G) ≤ t ≤ W(G) を満たすすべての t に対してそのような彩色が存在する。
• 三角形を含まない連結多部グラフでは、W(G) ≤ |V(G)| − 1 が成り立ち、必要な色数に対するタイトな上界が確立される。
• 二部多部グラフにおける連続的彩色の認識問題は、最大次数が有界であってもNP完全である。
• 二部多部グラフ G において、V₁(G) 上に連続的彩色が存在する十分条件として、任意の辺 (x,y) に対して x ∈ V₁(G) ならば d(x) ≥ d(y) が成り立つことが示される。
• min_{x∈V₁(G)} d(x) ≥ max_{y∈V₂(G)} d(y) が成り立つ場合、V₁(G) 上に連続的彩色が存在する。これは次数に基づく十分条件を提供する。