[論文レビュー] Intrinsic Chern-Connes Characters for Crossed Products by $\mathbb Z^d$

Emil Prodan|arXiv (Cornell University)|Jan 14, 2015

Advanced Operator Algebra Research参考文献 24被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、標準的ヒルベルト $\mathcal{A}$-加群 $\mathcal{H}_{\mathcal{A}}$ 上の有界作用素の $C^\ast$-代数への自然埋め込みを用いて、$\mathbb{Z}^d$ による交叉積に対する内在的チャーン＝コンネス特徴を導入する。一般化されたフレドホルム作用素と $\widehat{\mathcal{T}}$-インデックスを定義することで、チャーン特徴と $K_0(\mathcal{A}\rtimes_{\xi}\mathbb{Z}^d)$ のペアリングが $\widehat{\mathcal{T}}$ による $K_0\left(\mathcal{A}\right)$ の像に含まれることを示す局所的インデックス公式を導出する。これにより、強い秩序のない量子物質におけるトポロジカル相の応用が可能になる。

ABSTRACT

We present a natural imbedding of the crossed product $\mathcal A times_ξ\mathbb Z^d$ into the $C^\ast$-algebra of adjointable operators over the standard Hilbert $\mathcal A$-module $\mathcal H_{\mathcal A}$. By replacing the representations on Hilbert spaces with this canonical imbedding, we define Fredholm modules and corresponding Chern-Connes characters that are intrinsic to the $C^\ast$-dynamical system $(\mathcal A,ξ,\mathbb Z^d)$. The compression of the Dirac operator against projectors from $\mathcal A times_ξ\mathbb Z^d$ produces generalized Fredholm operators over $\mathcal H_{\mathcal A}$ and Mingo's index defines a $KK$-map from $K_0(\mathcal A times_ξ\mathbb Z^d)$ to $K(\mathcal A)$. Using a generalized Fedosov principle and a generalized Fedosov formula, we prove an index formula for the pairing of the intrinsic Chern-Connes characters and $K_0(\mathcal A times_ξ\mathbb Z^d)$. This pairing takes values in the image of $K_0(\mathcal A)$ in $\mathbb R$ under a canonical trace. A local index formula enables new applications in condensed matter physics to the so called weak topological invariants.

研究の動機と目的

• 既存の $\mathbb{Z}^d$ 交叉積に対するチャーン＝コンネス特徴理論の制限を克服すること、特に可換な $\mathcal{A}$ に限定され、分数のトポロジカル相を含まない整数ペアリングに起因する制限を解消すること。
• $C^\ast$-動的系 $(\mathcal{A}, \xi, \mathbb{Z}^d)$ から直接、フレドホルムモジュールとチャーン＝コンネス特徴の内在的で表現に依存しない定式化を構築すること。
• フェドソフの原理とインデックス公式を非可換設定に一般化し、不規則な量子材料における輸送係数の計算を可能にすること。
• 標準的ヒルベルト空間表現の範囲を超えて、トレースクラスでないコサイクルに適用可能な局所的インデックス公式を確立すること。
• $\widehat{\mathcal{T}}$ による $K_0(\mathcal{A})$ の像を通じてチャーン＝コンネス特徴ペアリングを関連づけ、測定可能な輸送係数の予測を提供すること。

提案手法

• $\mathcal{A}\rtimes_{\xi}\mathbb{Z}^d$ を標準的ヒルベルト $\mathcal{A}$-加群 $\mathcal{H}_{\mathcal{A}}$ 上の有界作用素の $C^\ast$-代数への自然埋め込みで埋め込む。
• $\mathbb{Z}^d$ の作用とクリフォード代数とのテンソル積を用いて、$\mathcal{H}_{\mathcal{A}}$ 上にディラック作用素を定義する。
• $\mathcal{H}_{\mathcal{A}}$ 上に一般化されたフレドホルム作用素を導入し、$C^\ast$-加群におけるミンゴの $KK$-理論的インデックスを用いて $\widehat{\mathcal{T}}$-インデックスを定義する。
• ヒルベルト空間表現を避けて、動的系から直接内在的フレドホルムモジュールとチャーン＝コンネス特徴を構成する。
• 非可換微分積分法を用いて局所的インデックス公式を導出し、特徴を導関数とトレース $\mathcal{T}$ を含む循環コサイクルとして表現する。
• $C(\Omega)\otimes M_Q(\mathbb{C})\rtimes_{\xi}\mathbb{Z}^3$ にフレームワークを適用し、伝導度テンソル $\sigma_{12}$ が $\widehat{\mathcal{T}}(K_0(\mathcal{A}))$ に値をとることを特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヒルベルト空間表現に依存せずに、$\mathbb{Z}^d$ 交叉積に対して内在的チャーン＝コンネス特徴を定義することは可能か？
• RQ2 チャーン＝コンネス特徴と $K_0(\mathcal{A}\rtimes_{\xi}\mathbb{Z}^d)$ のペアリングは、$K_0(\mathcal{A})$ のどの構造によって特徴づけられるか？
• RQ3 ペアリングにおける標準的インデックスに代わる、$\mathcal{H}_{\mathcal{A}}$ 上の一般化されたフレドホルム作用素の構造は何か？
• RQ4 コサイクルが標準的表現においてトレースクラスでない場合でも適用可能な局所的インデックス公式を導出できるか？
• RQ5 $\widehat{\mathcal{T}}$-インデックスは、不規則なトポロジカル材料における輸送係数にどのような物理的意味を持つのか？

主な発見

• チャーン＝コンネス特徴ペアリングが $K_0(\mathcal{A}\rtimes_{\xi}\mathbb{Z}^d)$ に対して取る値は、トレース $\widehat{\mathcal{T}}$ による $K_0(\mathcal{A})$ の像に含まれる。これは、従来の手法の主要な制限を解消する。
• 3次元トポロジカルインシュレーターの線形伝導度テンソル $\sigma_{12}$ が $\widehat{\mathcal{T}}(K_0(C(\Omega)\rtimes_{\xi_3}\mathbb{Z}))$ に含まれることを示し、離散的で測定可能な値を予測する。
• 局所的インデックス公式が $\tau_d(\bm{a}_0,\ldots,\bm{a}_d) = \Lambda_d \sum_{\rho \in S_d} (-1)^\rho \mathcal{T}\{\bm{a}_0 \partial_{\rho_1}\bm{a}_1 \cdots \partial_{\rho_d}\bm{a}_d\}$ の形で得られ、非可換交叉積に対して有効である。
• 本フレームワークにより、スペクトルギャップが閉じるが純粋点スペクトルが保たれる強秩序領域における輸送係数の計算が可能になる。
• $\mathcal{H}_{\mathcal{A}}$ 上の一般化されたフレドホルム作用素を用いることで、ミンゴのインデックスが利用可能となり、$K_0(\mathcal{A}\rtimes_{\xi}\mathbb{Z}^d)$ から $K_0(\mathcal{A})$ への $KK$-写像が得られる。
• 本手法により、コンネス＝モスコビチの局所的インデックス公式が、非可換ソボレフ空間とトレースクラスでないコサイクルを伴う $\mathbb{Z}^d$-交叉積へと拡張される。