[論文レビュー] Introduction to a provisional mathematical definition of Coulomb branches of $3$-dimensional $\mathcal N=4$ gauge theories

Hiraku Nakajima|arXiv (Cornell University)|Jun 16, 2017

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 13被引用数 22

ひとこと要約

本稿は、ホモロジー群と畳み込み積を用いた、3次元 $\mathcal{N}=4$ 超対称ゲージ理論におけるクーロン枝の暫定的な数学的定義を導入する。これにより、可換座標環 $$\mathbb{C}[\mathcal{M}_C]$$ とその非可換変形 $\mathcal{A}_\hbar$、すなわち量子化クーロン枝が構成される。主な結果として、$\mathcal{M}_C$ が $T^*T^\vee/W$ に双有理的であることが示され、正規性および平坦な可積分系がその構造を確認する。特に、有限およびアフィン $A$-型クイバーの場合に有効である。

ABSTRACT

This is an introduction to a provisional mathematical definition of Coulomb branches of $3$-dimensional $\mathcal N=4$ supersymmetric gauge theories, studied in arXiv:1503.03676, arXiv:1601.03586. This is an expanded version of an article arXiv:1612.09014 appeared in the 61st DAISUUGAKU symposium proceeding (2016), written originally in Japanese.

研究の動機と目的

• 3次元 $\mathcal{N}=4$ ゲージ理論におけるクーロン枝の数学的厳密な構成を、物理的期待に裏打ちされたものとする。
• 幾何的表現論にインspiredされた、畳み込み積を備えたホモロジー群のスペクトルとして、クーロン枝 $\mathcal{M}_C(G,\mathbf{M})$ を定義する。
• 可換座標環 $\mathbb{C}[\mathcal{M}_C]$ と同時に、$\mathbb{C}[\mathcal{M}_C]$ を非可換に変形する $\mathcal{A}_\hbar$、すなわち量子化クーロン枝を構成する。
• $\mathcal{M}_C$ が正規であり、可積分系および局所化定理を用いて $T^*T^\vee/W$ に双有理的であることを確立する。
• 特に有限およびアフィン $A$-型クイバーの場合に、Bow多様体およびインスタントンモジュライ空間を用いて、この構成を検証する。

提案手法

• 幾何的表現論にインスパイアされた、特定の空間のホモロジー群に畳み込み積を導入し、座標環 $\mathbb{C}[\mathcal{M}_C]$ を構成する。
• 非可換代数 $\mathcal{A}_\hbar$ を $\mathbb{C}[\hbar]$ 上に定義し、$\hbar=0$ でのポisson括弧によって $\mathbb{C}[\mathcal{M}_C]$ を変形する形で、量子化クーロン枝を定義する。
• 等置ホモロジーにおける局所化定理を用いて、$\mathcal{M}_C$ と $T^*T^\vee/W$ の間の双有理同型を確立する。
• 可積分系が平坦であることを示すことで、$\mathcal{M}_C$ の正規性を検証し、これにより codimension-2 補集合上で同型が成立することを示す。
• アフィン $A$-型クイバーの場合、インスタントンモジュライ空間の代わりにCherkisのBow多様体を用い、関係を満たすクイバー表現のモジュライとして再表現することで、平坦性を証明する。
• 幾何的サタケ対応およびアフィングラスマンニアン内のシューベルト多様体を用いて、$\mathcal{M}_C$ をスライスの交差として記述する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3次元 $\mathcal{N}=4$ ゲージ理論におけるクーロン枝の数学的定義を、その物理的起源を踏まえてどのように構築できるか？
• RQ2 ホモロジー群における畳み込み積が、座標環 $\mathbb{C}[\mathcal{M}_C]$ の定義において果たす役割は何か？
• RQ3 量子化クーロン枝 $\mathcal{A}_\hbar$ が、シフトされたヤンギアンや球的DAHAなどの既知の代数と同型となる条件は何か？
• RQ4 なぜ $\mathcal{M}_C$ の正規性が重要であり、シンプレクティック減少の記述がない状況でどのように確立されるのか？
• RQ5 クーロン枝は $\mathbb{R}^4$ やタブ＝ナット空間上のインスタントンモジュライ空間と同一視できるか？その条件は何か？

主な発見

• クーロン枝 $\mathcal{M}_C(G,\mathbf{M})$ は、畳み込み積を備えたホモロジー群のスペクトルとして構成され、商や零点集合とは異なる新しい代数的幾何的構成を与える。
• 量子化クーロン枝 $\mathcal{A}_\hbar(G,\mathbf{M})$ は、$\mathbb{C}[\mathcal{M}_C]$ の非可換変形であり、$\hbar=0$ でシンプレクティック形式から誘導されるポアソン括弧を持つ。
• $\mathbf{M} = \mathbf{N} \oplus \mathbf{N}^*$ の場合、[BFN16a] を用いて $\mathbb{C}[\mathcal{M}_C]$ 上の積の構成が確立され、重要な技術的ギャップが解消される。
• クーロン枝は $T^*T^\vee/W$ に双有理的であり、この双有理同型類は $\mathbf{M}$ の表現に依存せず、$G$ のみに依存する。
• アフィン $A$-型の場合、Bow多様体およびクイバー表現を用いてクーロン枝が完全に決定され、$\mathcal{M}_C$ が正規であることが示される。
• $G = \mathrm{GL}(k)$ かつ $W = \mathbb{C}^r$ の場合、量子化クーロン枝は $\mathbb{Z}/r\mathbb{Z} \wr S_k$ の球的部品としての有理型チェレドニク代数と同型であり、[KN16] で示されている。