[論文レビュー] Introduction to Coherent States and Quantum Information Theory

Kazuyuki Fujii|ArXiv.org|Dec 17, 2001

Quantum Mechanics and Applications参考文献 53被引用数 47

ひとこと要約

本稿は、su(2)およびsu(1,1)リー代数に基づくコherent状態と一般化されたコherent状態を用いて、微分幾何学的手法を量子情報理論に導入する。曲率形式を用いた線束の幾何的導出により、ユニティの分解が確立され、それらの構造を応用してスワップや不完全なコピングといった量子操作を構築し、幾何的量子情報理論の基盤を提供する。

ABSTRACT

The purpose of this paper is to introduce several basic theorems of coherent states and generalized coherent states based on Lie algebras su(2) and su(1,1), and to give some applications of them to quantum information theory for graduate students or non--experts who are interested in both Geometry and Quantum Information Theory. In the first half we make a general review of coherent states and generalized coherent states based on Lie algebras su(2) and su(1,1) from the geometric point of view and, in particular, prove that each resolution of unity can be obtained by the curvature form of some bundle on the parameter space. In the latter half we apply a method of generalized coherent states to some important topics in Quantum Information Theory, in particular, swap of coherent states and cloning of coherent ones. We construct the swap operator of coherent states by making use of a generalized coherent operator based on su(2) and show an "imperfect cloning" of coherent states, and moreover present some related problems. In conclusion we state our dream, namely, a construction of {\bf Geometric Quantum Information Theory}.

研究の動機と目的

• コherent状態の幾何的枠組みを提供することで、微分幾何学と量子情報理論を橋渡しすること。
• コherent状態のユニティの分解が、パrameter空間上の線束の曲率形式から生じることを示すこと。
• 一般化されたコherent状態を用いて、状態スワップや不完全なコピングといった量子操作を幾何的に構築すること。
• ホロノミック量子コンピュータ上でコherent状態の経路積分を計算可能かどうかを検討すること。
• ファイバー束幾何学とリー群構造に基づく統一的「幾何的量子情報理論」の基盤を築くこと。

提案手法

• su(2)およびsu(1,1)でパラメータ化された対称空間上の正則線束の曲率形式から、ユニティの分解を幾何的量子化フレームワークを用いて導出する。
• 非コンパクトおよびコンパクトな群の対称性を持つ量子状態をモデル化するため、Barut–GirardelloおよびPerelomov型の一般化されたコherent状態を適用する。
• シュヴィンガーのボソン実現を用いてスピンおよび振動子表現を構築し、コherent状態のダイナミクスの明示的計算を可能にする。
• ユニバーサルバンドルとチャーン類を用いて、コherent状態多様体に関連する位相的不変量を計算する。
• su(2)に基づく一般化されたコherent演算子を用いて、コherent状態のスワップ演算子を幾何的に最適化された形で構築する。
• 同一のsu(2)コherent演算子フレームワークを活用し、不完全なコピングプロトコルを構築する。ノーコピング定理に反しないように近似を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コherent状態のユニティの分解は、線束の曲率形式といった幾何的データから導出可能か？
• RQ2 su(2)およびsu(1,1)に基づく一般化されたコherent状態を用いて、幾何的にベル状態を構築できるか？
• RQ3 su(2)コherent演算子を用いて、コherent状態の幾何的に最適化されたスワップ演算子を構築できるか？
• RQ4 ノーコピング定理に反しないように、幾何的手法を用いてコherent状態の不完全なコピングを実現できるか？
• RQ5 ホロノミック量子コンピュータ上で、コherent状態の経路積分を近似または効率的に計算できるか？

主な発見

• 一般化されたコherent状態のユニティの分解は、パrameter空間上での正則線束の曲率形式の積分として幾何的に実現される。
• 複素射影空間上の一般化されたコherent状態を用いたベル状態の幾何的構成が達成され、もつれ状態がファイバー束幾何学と結びつけられる。
• su(2)に基づく一般化されたコherent演算子を用いて、コherent状態の専用スワップ演算子が構築され、ユニバーサルスワップゲートよりも効率的な代替手段が得られる。
• 同一のsu(2)コherent演算子フレームワークを用いて、コherent状態の不完全なコピングプロトコルが実現され、忠実度は入力状態の重なりに依存する。
• 調和振動子の経路積分が行列形式を用いて評価され、閉じた形の式 $ \frac{1}{1 - e^{-i\omega T}} $ が得られ、標準的な結果と一致する。
• SU(2) → SO(3)表現に対して、コンactな行列式 $ G = \mathbf{1} + 2aM + 2M^2 $ が導出され、量子状態変換のための新規な代数的道具が提供される。