[論文レビュー] Introduction to double Hecke algebras

Ivan Cherednik|ArXiv.org|Apr 17, 2004

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 119被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、表現論、特殊関数、および数理物理を結びつける統一的枠組みとして、二重アフィンヘッケ代数（DAHA）を導入する。DAHAはフーリエ変換の自然な一般化として確立され、r行列を用いたKnizhnik–Zamolodchikov（KZ）方程式の解法における役割を示し、Verlinde代数、調和解析、対角コインバリアントへの応用を含む。

ABSTRACT

This paper is based on the introduction to the monograph ``Double affine Hecke algebras'' to be published by Cambridge University Press. The connections with Knizhnik-Zamolodchikov equations, Kac-Moody algebras, tau-function, harmonic analysis on symmetric spaces, and special functions are discussed. The rank one case is considered in detail including the classification of Verlinde algebras and their deformations, Gauss-Selberg integrals and Gaussian sums, a topological interpretation of DAHA, a relation of the rational DAHA to sl(2), and applications to the diagonal coinvariants. The last three sections are devoted to relations of the general DAHAs to the p-adic affine Hecke algebras, trigonometric and rational DAHAs, and applications to the Harish-Chandra theory. The purpose of this introduction is a demonstration that DAHA can be considered as a natural formalization of the concept of the Fourier transform in mathematics and physics.

研究の動機と目的

• 二重アフィンヘッケ代数（DAHA）を、数学および物理学の多様な分野を統合する基礎的代数的構造として提示すること。
• DAHAを表現論および調和解析におけるフーリエ変換の形式的定式化として確立すること。
• ソリトン理論におけるτ関数がr行列KZ方程式の解として果たす役割を示すこと。
• p進調和解析、Kac–Moody代数、および球関数といった古典的理論とDAHAを結びつけること。
• 対角コインバリアント、Verlinde代数、およびDAHAの有理的および三角関数的極限への退化に関する応用を探索すること。

提案手法

• アフィンワイル群の表現論およびp進調和解析を基礎的な枠組みとして用いる。
• r行列形式的を用いてKZ方程式の積分公式を導出し、DAHA構造と結びつける。
• ガウス積分およびガウス和を、DAHA表現の研究における主要な道具として用いる。
• ソリトン理論におけるτ関数を、r行列KZ方程式の解として導入し、可積分系とDAHAを結びつける。
• 退化技術を適用してDAHAの有理的および三角関数的極限を導出し、古典的リー理論と結びつける。
• 被覆空間の基本群およびKodaira–Spencer写像を含む位相的・幾何学的解釈を用いて、DAHA作用を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 DAHAは、数学および物理学におけるフーリエ変換の一般化としてどのように解釈できるか？
• RQ2 r行列KZ方程式およびソリトン理論の文脈において、τ関数が果たす役割は何か？
• RQ3 DAHAはKnizhnik–Zamolodchikov方程式およびその積分解とどのように関係しているか？
• RQ4 PSL(2,Z)のDAHAモジュールへの作用の位相的・幾何学的解釈は何か？
• RQ5 DAHAの退化（有理的、三角関数的）は、古典的調和解析および表現論とどのように関係しているか？

主な発見

• ソリトン理論におけるτ関数が、r行列KZ方程式の一般解として同定され、可積分系とDAHAを結びつける。
• DAHAは、表現論および調和解析におけるフーリエ変換の自然な形式的定式化を提供する。
• A1型の有理的DAHAがsl(2)および対角コインバリアントの理論と深く関係していることが示された。
• 本稿では、オルビフォールド基本群およびPSL(2,Z)の作用を通じて、DAHAの位相的解釈を確立した。
• DAHAは、ガウス積分、ガウス和、およびMacdonald–Mehta–Koornwinder恒等式を統一的に扱える。
• 非対称Verlinde代数の理論がDAHAを用いて分類され、量子群および共形場理論への応用が得られた。