[論文レビュー] Introduction to Projective Arithmetics

Mark Burgin|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2010

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 15被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、可逆関数を用いて加法と乗法を再定義することで、従来の（ディオファントスの）算術を一般化する非ディオファントス的算術の族、射影的算術を導入する。関数 f をパrameter化することで、さまざまな自然現象や社会現象をモデル化できる一貫性のある算術体系を構築でき、f(x) = x の場合にディオファントス算術が特殊ケースとして現れる。主な貢献は、科学的および日常的推論における不整合を解消する数学的に厳密な代替算術の基盤を確立することにある。

ABSTRACT

Science and mathematics help people to better understand world, eliminating many inconsistencies, fallacies and misconceptions. One of such misconceptions is related to arithmetic of natural numbers, which is extremely important both for science and everyday life. People think their counting is governed by the rules of the conventional arithmetic and thus other kinds of arithmetics of natural numbers do not exist and cannot exist. However, this popular image of the situation with the natural numbers is wrong. In many situations, people have to utilize and do implicitly utilize rules of counting and operating different from rules and operations in the conventional arithmetic. This is a consequence of the existing diversity in nature and society. To correctly represent this diversity, people have to explicitly employ different arithmetics. To make a distinction, we call the conventional arithmetic by the name Diophantine arithmetic, while other arithmetics are called non-Diophantine. There are two big families of non-Diophantine arithmetics: projective arithmetics and dual arithmetics (Burgin, 1997). In this work, we give an exposition of projective arithmetics, presenting their properties and considering also a more general mathematical structure called a projective prearithmetic. The Diophantine arithmetic is a member of this parametric family: its parameter is equal to the identity function f(x) = x. In conclusion, it is demonstrated how non-Diophantine arithmetics may be utilized beyond mathematics and how they allow one to eliminate inconsistencies and contradictions encountered by other researchers.

研究の動機と目的

• 自然数に対しては従来の算術が唯一の有効な体系であるという誤解に挑戦すること。
• 可逆関数に基づく非ディオファントス的算術の族として、射影的算術を形式化すること。
• ディオファントス算術がこの広範なパrametric枠組み内での特殊ケースとしてどのように現れるかを示すこと。
• 射影的算術が科学的および実用的推論における不整合をどのように解消できるかを示すこと。
• 純粋数学を超えて非ディオファントス的算術を応用する基盤を確立すること。

提案手法

• 可逆関数 f を用いて射影的前算術を定義し、標準的な演算を新たな演算に変換する。
• 新しい体系における加法と乗法を f を用いて構成する：a ⊕ b = f⁻¹(f(a) + f(b)) および a ⊗ b = f⁻¹(f(a) × f(b))。
• f が十分に滑らかで可逆である場合、得られる構造が可換環の公理を満たすことを確立する。
• ディオファントス算術が f(x) = x の場合に対応することを示し、それらを広い族に埋め込む。
• パrameter f を用いて、さまざまな応用分野に適した多様な算術を生成する。
• 得られる体系の代数的および構造的性質（閉包性、分配法則など）を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自然数に対してディオファントス算術以外の算術体系を一貫して定義できるか？
• RQ2 関数的変換を通じて、射影的算術がどのように従来の算術を一般化するか？
• RQ3 得られる体系が有効な算術的構造であるためには、関数 f が満たすべき条件は何か？
• RQ4 射影的枠組み内において、なぜディオファントス算術が特殊ケースとして現れるのか？
• RQ5 非ディオファントス的算術は、科学的および実用的推論における不整合をどのように解消できるか？

主な発見

• 射影的算術は、可逆関数 f によって定義される非ディオファントス的算術のパrametric族であり、ディオファントス算術は f(x) = x に対応する。
• 射影的算術における加法と乗法は、f⁻¹(f(a) + f(b)) および f⁻¹(f(a) × f(b)) として一貫して定義され、代数的構造が保たれる。
• f が滑らかで可逆である場合、得られる体系は可換環となり、数学的整合性が保証される。
• 非ディオファントス的算術は、従来の算術が機能しない自然界および社会的現象をモデル化できる。
• この枠組みにより、分野に適した算術体系を提供することで、科学的研究で生じる矛盾や不整合を解消できる。
• 射影的前算術は、射影的算術を部分集合として含むより一般的な構造として特定される。