[論文レビュー] Introduction to Shimura varieties with bad reduction of parahoric type

Thomas J. Haines|ArXiv.org|Sep 24, 2004

Advanced Algebra and Geometry参考文献 59被引用数 50

ひとこと要約

本稿は、素数 $p$ における悪い還元を示すシムーラ多様体について、ラポポート＝ジンクの局所モデルを用いたパラハオリレベル構造に焦点を当て、平坦性、層化、ゼータ関数に関する基礎的結果を確立する。主な貢献として、コットヴィッツ＝ラポポート層および『偽』ユニタリシムーラ多様体における基本的局所の空でない証明、および局所モデルによる滑らかでない部分集合と近傍サイクルの新しい特徴付けが含まれる。

ABSTRACT

This survey article explains the construction of Rapoport-Zink local models and their use in understanding various questions relating to the singularities in the reduction modulo p of certain Shimura varieties with parahoric level structure at p.

研究の動機と目的

• ラポポート＝ジンクの局所モデルの抽象的枠組みを、$p$ におけるパラハオリレベル構造を有するシムーラ多様体の文脈で明確化・具体化すること。
• 特に平坦性および層化に関して、悪い還元の状況におけるシムーラ多様体の幾何学に関する基礎的結果を確立すること。
• 『偽』ユニタリおよびシーゲルシムーラ多様体におけるコットヴィッツ＝ラポポート層および基本的局所の空でない性質に関する、新しい証明および結果を提供すること。
• 局所モデル図と近傍サイクルを通じて、局所モデルとグローバルなシムーラ多様体を結びつけ、半単純ゼータ関数の計算を可能にすること。
• 特に局所 $L$-因子および自動形式 $L$-関数の文脈において、ラングランズプログラムに関する今後の研究の背景を提供すること。

提案手法

• シムーラ多様体の $p$ における特異点および還元型を研究する中心的ツールとして、ラポポート＝ジンクの局所モデルを用いる。
• 局所体上の再帰的群におけるイワハリおよびパラハオリ部分群の理論を応用して、レベル構造を定義する。
• シムーラ多様体の特別ファイバーと局所モデルの一般ファイバーおよび特別ファイバーを結ぶ局所モデル図を構成する。
• ディエュドネ理論およびクリスタリンコホモロジーを用いて、$p$-可除群と $F$ および $V$-作用素を有する線形代数的データを関連付ける。
• 近傍サイクルおよび単位根作用を用いて、局所モデルのコホモロジー的不変量とシムーラ多様体のそれらを関連付ける。
• 組合せ論的および表現論的技法を用いて、ニュートン層、コットヴィッツ＝ラポポート層、およびアフィンデリーヌ＝ルスティグ多様体を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 イワハリレベル構造を有するシムーラ多様体の特別ファイバーにおけるコットヴィッツ＝ラポポート層が、どのような条件下で空でないか。
• RQ2 悪い還元の文脈において、ニュートン層、コットヴィッツ＝ラポポート層、およびアフィンデリーヌ＝ルスティグ多様体はどのように関係するか。
• RQ3 パラハオリレベル構造を有する『偽』ユニタリシムーラ多様体における基本的局所は空でないか。
• RQ4 イワハリレベル構造を有するシムーラ多様体の特別ファイバーにおける滑らかでない部分集合の構造はいかなるものか。
• RQ5 局所モデルおよび近傍サイクルを用いて、半単純局所ゼータ関数をどのように計算できるか。

主な発見

• イワハリレベル構造を有するシーゲルモジュラー多様体および『偽』ユニタリシムーラ多様体の特別ファイバーにおけるコットヴィッツ＝ラポポート層は、それぞれの連結成分において空でない。
• パラハオリレベル構造を有する『偽』ユニタリシムーラ多様体における基本的局所は空でない。これは、予想の確認である。
• 非分岐群のイワハリ部分群に対応する局所モデルは、位相的に平坦である。これは変形理論において重要な結果である。
• イワハリレベル構造を有するシムーラ多様体の特別ファイバーにおける滑らかでない部分集合は、コットヴィッツ＝ラポポート層を用いた組合せ論的に記述される。
• 『偽』ユニタリシムーラ多様体の半単純局所ゼータ関数は、コットヴィッツ予想および近傍サイクルの計算を通じて、半単純 $L$-関数の形で表現される。
• ディエュドネ理論を用いた、de Rham およびクリスタリンコホモロジー写像の整合性についての新しい証明が与えられ、テスト関数 $\phi_r$ の明示的同定がなされた。