[論文レビュー] Introduction to W-algebras and their representation theory

Tomoyuki Arakawa|arXiv (Cornell University)|Apr 30, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 31被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、型Aリー代数に付随する量子化ドリンフェルト＝ソコロフ還元を経由して得られる主W代数に焦点を当て、W代数およびその表現論について包括的な導入を提供する。W代数の最小模型（有理的・滑らか表現）の存在と分類を確立し、Frenkel、Kac、Wakimotoによる予想をZhu代数とBRSTコホモロジーを用いて証明した。主な結果として、特徴関数の公式と分母恒等式が得られた。

ABSTRACT

These are lecture notes from author's mini-course during Session 1: "Vertex algebras, W-algebras, and application" of INdAM Intensive research period "Perspectives in Lie Theory", at the Centro di Ricerca Matematica Ennio De Giorgi, Pisa, Italy. December 9, 2014 -- February 28, 2015.

研究の動機と目的

• Lie理論および数理物理学の研究者を対象に、W代数とその表現論の基礎的導入を提供すること。
• W代数の最小模型の存在と構成に関する長年の予想（バーラトリー代数の最小模型に類似）を解消すること。
• Zhu代数とBRSTコホモロジーの手法を用いて、有理的W代数の単純加群の分類を確立すること。
• 非退化的アデミッスブルレベルW代数の単純加群のなすカテゴリが有限であり、最小系列表現によって完全に記述されることを証明すること。

提案手法

• アフィンカク＝ムーディ代数の表現からW代数の表現への関手的構成として、量子化ドリンフェルト＝ソコロフ還元を用いる。
• BRSTコホモロジーやハミルトニアン還元の技術を応用し、有限次元リー代数の不変量とW代数構造を結びつける。
• Zhu代数を用いて、頂点代数の表現と有限W代数の表現を関連づけ、最高重量理論による分類を可能にする。
• コスタントのホイットAKERモデルと同伴行列上の不変多項式を活用し、普遍包あくり代数の中心を記述する。
• ワイル群作用による連結性の原理と特徴関数の公式を用いて、単純加群の分類と有理性の検証を行う。
• W代数のZhu代数と有限W代数との同型を応用し、既知のアデミッスブル表現に関する結果に帰着することで、分類問題を簡略化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 型Aリー代数に付随するW代数に対して、バーラトリー代数の最小模型に類似した最小模型が存在するか？
• RQ2 有理的W代数の単純加群のカテゴリは、表現論的技法を用いて完全に分類可能か？
• RQ3 Zhu代数は、頂点代数の表現と有限W代数構造をどのように結びつけるか？
• RQ4 W代数の特徴関数の公式と分母恒等式は、バーラトリー代数のそれらをどのように一般化するか？
• RQ5 異なる最小模型、例えば(p,q)型と(q,p)型の間には双対性や同型が存在するか？

主な発見

• W代数のFrenkel-Kac-Wakimoto予想が証明された：非退化的アデミッスブルレベル$k$に対して、単純W代数$\mathscr{W}_k(\mathfrak{g})$は有理的かつ滑らかである。
• 単純$\mathscr{W}_k(\mathfrak{g})$-加群の同型類の完全な集合は$\{\mathbb{L}(\gamma_{\bar{\lambda}}) \mid \lambda \in [Pr_k^{non-deg}]\}$で与えられ、ここで$[Pr_k^{non-deg}]$はワイル群作用による非退化的アデミッスブル重みの集合の商である。
• 特徴関数の公式$\operatorname{ch}\mathbb{L}(\gamma_{\bar{\lambda}}) = \sum_{w \in \widehat{W}(\lambda)} \epsilon(w) \operatorname{ch}\mathbb{M}(\gamma_{\overline{w\circ\lambda}})$が確立され、Frenkel、Kac、Wakimotoによる予想が裏付けられた。
• $(n,n+1)$-最小模型に対して、分母恒等式$\sum_{w \in \widehat{W}(\lambda)} \epsilon(w) q^{\frac{(\overline{w\circ\lambda}, \overline{w\circ\lambda} + 2\rho)}{2(k+n)}} = \prod_{j=1}^{n-1} (1 - q^j)^{n-1}$が導出され、$\mathfrak{sl}_2$の場合にはオイラーの五角形恒等式に還元される。
• $(p,q)$-最小模型の$\mathscr{W}^k(\mathfrak{g})$は、$l+n = q/(p-q)$のとき、$V_l(\mathfrak{g}) \otimes V_1(\mathfrak{g})$における$V_{l+1}(\mathfrak{g})$の可換子と同型である。これは[ALY2]で$(n+1,n)$の場合にすでに証明済みである。
• $\mathscr{W}^k(\mathfrak{g},f)$の有理的および滑らか性は、すべての型Aの場合に確立され、KacとWakimotoによる予想が[ A9 ]で確認された。