[論文レビュー] $\mathcal{W}$-algebras with non-admissible levels and the Deligne exceptional series

Kazuya Kawasetsu|arXiv (Cornell University)|May 26, 2015

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 31被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、Deligne例外的リー代数に付随する特定の単純な $\mathcal{W}$-代数が非許容レベルにおいて $C_2$-cofinite であり、$\mathbb{Z}_2$-有理的であることを、頂点 operator 代数の単純な電流拡張として構成することによって確立している。量子化された Drinfel'd-Sokolov 還元とモジュラー不変性の手法を用いて、許容レベルを超えた有理的 $\mathcal{W}$-代数の分類を拡張し、Deligne例外的系列における $C_2$-cofinite な有理的 VOAs の新たな例を提供している。

ABSTRACT

Structure of certain simple $\mathcal{W}$-algebras assocated with the Deligne exceptional Lie algebras and non-admissible levels are described as the {\it simple current extensions} of certain vertex operator algebras. As an application, the $C_2$-cofiniteness and $\mathbb{Z}_2$-rationality of the algebras are proved.

研究の動機と目的

• 許容レベルを超えた有理的 $\mathcal{W}$-代数の分類を拡張し、長年にわたり有理的性と $C_2$-cofiniteness が許容レベルでのみ発現すると考えられてきた信念に挑戦すること。
• レベル $k$ が非許容であるときの、Deligne例外的リー代数 $A_1 \subset A_2 \subset G_2 \subset D_4 \subset F_4 \subset E_6 \subset E_7 \subset E_8$ に付随する単純 $\mathcal{W}$-代数の構造を調査すること。
• レベル $k$ が許容でない場合であっても、頂点 operator 代数の単純な電流拡張を通じて $C_2$-cofiniteness と有理的性が達成可能であることを示すこと。
• Deligne例外的系列における $C_2$-cofinite な有理的 $\mathcal{W}$-代数の新たな例を提供し、既知の有理的 conformal field theories の範囲を広げること。

提案手法

• BRST複体の微分 $d$ と conformal ベクトル $\omega = \omega^{\mathrm{aff}} + \omega^{\mathrm{ne}} + \omega^{\mathrm{ch}} + \partial x$ を用いた量子化された Drinfel'd-Sokolov 還元により、普遍的 $\mathcal{W}^k(\mathfrak{g},f)$-代数を構成する。ここで $x$ は $[x,f] = -1$ を満たす半単純元である。
• BRST複体の $0$-次コホモロジーを分析して普遍的 $\mathcal{W}$-代数を定義し、その後単純商をとることで単純 $\mathcal{W}$-代数 $\mathcal{W}_k(\mathfrak{g},f)$ を得る。
• 単純電流拡張の理論を適用し、$\mathbb{Z}_2$-位相と電荷構造を活用して、既知の頂点 operator 代数の拡張として単純 $\mathcal{W}$-代数を構築する。
• 頂点代数からその場の表現への写像 $\Psi$ の単射性を用いて、アーベル相互作用代数構造の一意性と整合性を証明する。
• 局所性および反対称性の公理を用い、OPE関係式 $Y(a,z)Y(b,w)c \iota_{z,w}(z-w)^n = B(\alpha,\beta,\gamma)Y(b,w)Y(a,z)c \iota_{w,z}(z-w)^n + \text{留数}$ を含む頂点演算子の性質を用いて、ヤコビ恒等式を導出する。
• 再構成定理と $Q$-電荷付きアーベル相互作用代数の枠組みに依拠することで、頂点代数の構造がその場の内容と融合規則によって一意に決定されることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有理的性と $C_2$-cofiniteness は、非許容レベルにおいても $\mathcal{W}$-代数に対して達成可能であるか。これは、長年にわたり、このような性質は許容レベルでのみ発現すると考えられてきたが、その信念に反する。
• RQ2 レベル $k$ が非許容である場合、Deligne例外的リー代数に付随する $\mathcal{W}$-代数の構造はどのように記述できるか。
• RQ3 単純電流拡張は、許容レベル領域を超えて有理的 $\mathcal{W}$-代数を構成するためにどの程度まで利用可能であるか。
• RQ4 $\mathcal{W}$-代数が非許容レベルにおいてもモジュラー不変性の性質を保持するか。もしそうならば、それはどのように実現されるか。

主な発見

• 非許容レベルにおける Deligne例外的系列に付随する単純 $\mathcal{W}$-代数が $C_2$-cofinite であることが証明され、許容レベルを超えた既知の $C_2$-cofinite VOAs のクラスが拡張された。
• $\mathcal{W}$-代数が $\mathbb{Z}_2$-有理的であることが示され、そのモジュール圏が半単純的かつ畳み込みについて閉じており、有理的 conformal field theory 構造が確認された。
• これらの代数は、頂点 operator 代数の単純電流拡張として構築されており、許容レベルを必要としない新しい方法で有理的 $\mathcal{W}$-代数を実現した。
• $\Psi$ の単射性により、アーベル相互作用代数構造の一意性が保証され、この文脈における再構成定理の妥当性が裏付けられた。
• 局所性の境界と $Q$-電荷構造を用いて、OPE およびヤコビ恒等式が厳密に導出され、頂点代数演算の整合性が確認された。
• この枠組みにより、レベル $k$ が許容でない場合であっても、有理的性と $C_2$-cofiniteness が $\mathcal{W}$-代数に現れ得ることが確認され、分野における従来の予想に挑戦した。