[論文レビュー] Invariant Manifolds for Non-differentiable Operators

Marco Martens, Liviana Palmisano|arXiv (Cornell University)|Apr 20, 2017

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 29被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、微分可能性と双曲的性の古典的条件に代えて「飛び出し微分可能性」と位相的双曲的性を用いる一般化された不変多様体定理を確立する。非微分可能な非線形作用素に対して、$χ^{4+\epsilon}$ フィボナッチ チェリー写像の空間が $χ^1$ 次元1の多様体をなすことを証明し、力学系における非滑らかなリノーマル化スキームへの不変多様体理論の適用範囲を拡張する。

ABSTRACT

A general invariant manifold theorem is needed to study the topological classes of smooth dynamical systems. These classes are often invariant under renormalization. The classical invariant manifold theorem cannot be applied, because the renormalization operator for smooth systems is not differentiable and sometimes does not have an attractor. Examples are the renormalization operator for general smooth dynamics, such as unimodal dynamics, circle dynamics, Cherry dynamics, Lorenz dynamics, Hénon dynamics, etc. A general method to construct invariant manifolds of non-differentiable non-linear operators is presented. An application is that the $\mathcal C^{4+ε}$ Fibonacci Cherry maps form a $\mathcal C^1$ codimension one manifold.

研究の動機と目的

• 滑らかでない作用素に適用可能な一般化された不変多様体定理を構築すること、特に古典的定理が失敗する状況を想定する。
• 滑らかな系（ユニモーダル、チェリー、ローレンツ、ヘノン力学系など）におけるリノーマル化作用素の微分可能性の欠如と吸引子の欠如に対処すること。
• 滑らかな力学系における位相的同相類、特にフィボナッチ チェリー写像が、非微分可能なリノーマル化でさえも滑らかな多様体をなすことを証明すること。
• 同じ位相を持つ系間の共役写像の幾何的剛性を分析するための枠組みを確立すること。

提案手法

• 微分可能性の弱い置き換えとして「飛び出し微分可能性」を導入し、滑らかでない設定でも導関数に類似した制御を可能にする。
• 微分可能性の代わりにリプシッツ連続性を持つ曲線力学を用い、分解された系におけるグラフ変換法を分析する。
• リノーマル化が「飛び出し微分可能」になるように、系を $\varphi^r$, $\varphi^l$ の成分に分解する。
• 部分導関数 $D_{rs}$ と $D_{rl}$ の一様有界性に依存して、グラフ変換法により不変多様体を構成する。
• 導関数作用素に対する連続性およびホルダー型推定式を確立する：$ \left| \tilde{\varphi}^r(\underline{f}+\Delta\underline{\varphi}) - [\tilde{\varphi}^r(\underline{f}) + D\Delta\underline{\varphi}] \right|_2 = O_{\underline{f}}(|\Delta\underline{\varphi}|_2^{1+\epsilon}) $。
• 部分導関数 $ \frac{\partial\tilde{\varphi}^r_\tau}{\partial\varphi_{\tau'}} $ が $ X_2 $ 上で一様有界作用素 $ D_{rs}, D_{rl} : X_2 \to X_2 $ に拡張されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかな力学系における非微分可能なリノーマル化作用素に対して不変多様体を構成できるか？
• RQ2 非微分可能なリノーマル化でさえも、$χ^{4+\epsilon}$ フィボナッチ チェリー写像の空間は滑らかな多様体であるか？
• RQ3 系間の位相的共役が幾何的剛性（すなわち、共役写像が $χ^{1+\beta}$ である）を意味するか？
• RQ4 古典的不変多様体定理は、微分可能かつ双曲的でない設定へ一般化可能か？
• RQ5 吸引子が存在しない場合、不変多様体の存在を保証する定量的条件は何か？

主な発見

• 定理6.1で示されるように、$χ^{4+\epsilon}$ フィボナッチ チェリー写像は $χ^1$ 次元1の多様体をなす。
• フィボナッチ チェリー力学系のリノーマル化作用素は微分可能ではなく、吸引子も持たないが、不変多様体は依然として存在する。
• 部分導関数 $ \frac{\partial\tilde{\varphi}^r_\tau}{\partial\varphi_{\tau'}} $ は一様有界であり、$ X_2 $ 上で有界作用素 $ D_{rs}, D_{rl} $ に拡張される。
• 摂動に対するリノーマル化写像の依存性はホルダー型推定式を満たす：$ \left| \tilde{\varphi}^r(\underline{f}+\Delta\underline{\varphi}) - [\tilde{\varphi}^r(\underline{f}) + D\Delta\underline{\varphi}] \right|_2 = O_{\underline{f}}(|\Delta\underline{\varphi}|_2^{1+\epsilon}) $。
• この手法は、滑らかな1次元力学系、ヘノン力学系、および古典的定理が微分不可能性のため失敗するその他の系へ広く適用可能である。