[論文レビュー] Invariant means and finite representation theory of C*-algebras

Nathanial P. Brown|ArXiv.org|Apr 1, 2003

Advanced Operator Algebra Research参考文献 37被引用数 66

ひとこと要約

この論文は、単位的C*-代数における可解的トレースを、有界作用素上の不変平均として導入・分析し、有限次元表現理論におけるその役割を確立する。可解的トレースが、正確に有限次元近似性質（Kirchbergの可挿入可能トレース）に一致することを証明し、これをPopa代数に適用することで、それらが豊富なII₁因子表現を有することを示し、Connesの埋め込み問題や分類プログラムへの影響を示す。

ABSTRACT

Various subsets of the tracial state space of a unital C*-algebra are studied. The largest of these subsets has a natural interpretation as the space of invariant means. II_1-factor representations of a class of C*-algebras considered by Sorin Popa are also studied. These algebras are shown to have an unexpected variety of II_1-factor representations. This general theory is related to various other problems as well. Applications include: (1) A characterization of R^ω-embeddable factors in terms of Lance's WEP. (2) A classification theorem for certain simple, nuclear C*-algebras with unique trace. (3) For a self-adjoint operator there always exists a filtration such that the finite section method (from numerical analysis) works as well as could be hoped for. (4) New examples of non-tracially AF algebras which answer negatively questions of Sorin Popa and Huaxin Lin.

研究の動機と目的

• C*-代数における可解的トレースを、B(H)上の不変平均として一般理論を構築すること。
• Kirchbergの可挿入可能トレースに関する結果を拡張し、有限次元近似性質による可解的トレースの特徴付けをすること。
• Popa代数のII₁因子表現を研究し、それらが広範な種類のこのような表現を有することを示すこと。
• 可解的トレースを、Connesの埋め込み問題やElliottの分類プログラムを含む、作用素代数における主要な未解決問題と結びつけること。

提案手法

• 可解的トレースを、A上の状態として定義し、ユニタリ共役によるB(H)上への不変状態への拡張可能性として定義する。
• 可解的トレースが、Kirchbergの有限次元近似（可挿入可能）性質を満たすものとちょうど一致することを証明する。
• GNS構成を用いて、可解的トレースを有限次元表現およびII₁因子表現と結びつける。
• 超有限II₁因子Rに類似した内部有限次元近似性質を用いて、Popa代数を分析する。
• 理論を応用して、新しいII₁因子表現の例を構成し、K-ホモロジーおよび数値解析における障害を分析する。
• トレース空間の構造を通じて、分類、埋め込み問題、準対角性との関連を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての可解的トレースは、B(H)上の不変平均から生じるのか。また、これはAの具体的な表現に依存しない特徴付けであるか。
• RQ2 Popa代数は豊富なII₁因子表現を有するのか。また、これを保証する構造的条件は何か。
• RQ3 双曲的群Γに対して、C*(Γ)上の標準的トレースは可解的か。また、これはR^ωへの埋め込みと関係があるか。
• RQ4 WEPを満たし、非自明なトレースを持つC*-代数を構成できるか。ただし、それは準対角的でない。
• RQ5 群のvon Neumann代数がR^ωに埋め込めるならば、ヒルベルト空間への一様埋め込みが成立するか。

主な発見

• 可解的トレースは、ちょうどB(H)上への不変平均に拡張可能なものであり、かつ有限次元近似（可挿入可能）性質を満たすトレースと一致する。
• 内部有限次元近似性質を備えたPopa代数は、広範なII₁因子表現を有する。
• 多くのC*-代数（特に核的かつ正確な代数）において、可解的トレースの空間は空でなく、準対角性やWEPと密接に関係している。
• すべての残余有限群に対して、C*(Γ)上の標準的トレースは可解的であるが、双曲的群の場合はその可解性は未解決のままである。
• 可解的トレース空間に非自明なトレースが存在することは、準対角性を示唆するが、逆は未知である。
• 本論文はConnesの埋め込み問題について新たな知見を提供し、L(Γ)のR^ω埋め込みが、ある仮説が成り立つならば、ヒルベルト空間への一様埋め込みを示唆している。