[論文レビュー] Completely positive maps of order zero

Wilhelm Winter, Joachim Zacharias|ArXiv.org|Mar 19, 2009

Advanced Operator Algebra Research参考文献 16被引用数 131

ひとこと要約

この論文は、正の元の直交性を保つC*-代数間の完全正値マップの完全正値零順序（order zero）を導入し、その特徴づけを行う。構造定理を確立し、このようなマップが定義域代数のコーン代数から終域への*-準同型写像と一対一対応することを示し、関数計算を可能にするとともに、テンソル積およびトレース的関数への合成が零順序を保つことを証明する。主な貢献は、零順序マップがCuntz半群間の順序付き半群準同型を誘導することであり、半群レベルのマップをC*-代数マップに引き上げるための橋渡しを提供する。

ABSTRACT

We say a completely positive contractive map between two C*-algebras has order zero, if it sends orthogonal elements to orthogonal elements. We prove a structure theorem for such maps. As a consequence, order zero maps are in one-to-one correspondence with *-homomorphisms from the cone over the domain into the target algebra. Moreover, we conclude that tensor products of order zero maps are again order zero, that the composition of an order zero map with a tracial functional is again a tracial functional, and that order zero maps respect the Cuntz relation, hence induce ordered semigroup morphisms between Cuntz semigroups.

研究の動機と目的

• 有限次元の定義域に限定された先行研究を拡張し、C*-代数間の完全正値有界（c.p.c.）零順序マップの一般的構造理論を構築すること。
• c.p.c. 零順序マップと定義域代数のコーン代数から終域代数への*-準同型写像との間の一対一対応を確立すること。
• 零順序マップがテンソル積、トレース的関数、Cuntz劣等価関係といった重要な構造を保つことの証明。
• 零順序マップが自然にCuntz半群間の準同型を誘導することを示し、半群レベルのマップをC*-代数マップに引き上げるための新しい枠組みを提供すること。

提案手法

• 零順序マップを、正の元の直交性を保つc.p.c. マップとして定義する：A+におけるa ⊥ b ならば、B+におけるφ(a) ⊥ φ(b) が成り立つ。
• すべてのc.p.c. 零順序マップφ: A → Bは、φ = h^{1/2} π_φ h^{1/2} と因子分解可能であることを証明する。ここでh ∈ B+ はφの像と可換であり、π_φ はAからφ(A)が生成するC*-代数の乗法的代数への*-準同型写像である。
• コーン代数C₀(A)からBへの*-準同型写像との間の対応を、コーンの普遍性を用いて確立する。
• 因子分解を用いて、零順序マップのテンソル積が再び零順序であることを示し、トレース的関数との合成がトレース的関数のままであることを示す。
• 零順序マップがCuntz劣等価関係を保つことを証明し、したがってCuntz半群W(A)とW(B)の間の順序付き半群準同型W(φ): W(A) → W(B)を自然に誘導することを示す。
• 双対への拡張を行い、任意のc.p.c. 零順序マップφの二重双対写像φ**が再び零順序であることを示し、構造定理がvon Neumann代数の設定において正規性を保ったまま拡張できることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 C*-代数間の完全正値有界（c.p.c.）零順序マップを、有限次元に限定されない一般の設定でどのように特徴づけられるか。
• RQ2 c.p.c. 零順序マップの正確な構造的形態は何か。また、*-準同型写像とコーン構成とはどのように関係するか。
• RQ3 零順序マップはテンソル積およびトレース的関数との合成においても、それらの性質を保つか。
• RQ4 零順序マップはCuntz半群間でwell-definedな準同型を誘導するか。もしそうならば、半群レベルのマップをC*-代数マップに引き上げるプロセスとはどのように関係するか。
• RQ5 正規元の連続関数計算に類似した、零順序マップに対する関数計算は存在するか。

主な発見

• すべてのc.p.c. 零順序マップφ: A → Bは、φ = h^{1/2} π_φ h^{1/2} と一意に因子分解可能であり、ここでh ∈ B+ はφの像と可換であり、π_φ はAからC = C*(φ(A))の乗法的代数への*-準同型写像である。
• c.p.c. 零順序マップAからBへの写像と、コーン代数C₀(A)からBへの*-準同型写像との間には、自然な一対一対応が存在する。
• c.p.c. 零順序マップのテンソル積は再び零順序であり、行列代数への拡張（アンピリフィケーション）に対しても同様に成り立つ。
• c.p.c. 零順序マップと正のトレース的関数との合成は再びトレース的関数であり、2-quasitraceに対しても同様の性質が成り立つ。
• 零順序マップはCuntz半群W(A)とW(B)の間でwell-definedで、順序を保ち、半群準同型を誘導する。
• 任意のc.p.c. 零順序マップφの二重双対写像φ**も再び零順序であり、構造定理は双対へと拡張可能である。