[論文レビュー] Invariant measure for the Schrödinger equation on the real line

Federico Cacciafesta, Anne-Sophie de Suzzoni|arXiv (Cornell University)|May 20, 2014

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、実数直線上の三次非線形焦点化シュレーディンガー方程式に対して、減衰する相互作用ポテンシャル $\chi$ を用いて、有限次元近似と、スペクトルギャップの欠如に対処するための新規トポロジー $X^{-1/2-}$ を用いて、不変なギブス測度を構成する。主な結果は、$L^2$ とは非交差する台において、切断技術と弱収束の議論を用いた低正則性設定下での大域的良設定性と測度不変性である。

ABSTRACT

In this paper, we build a Gibbs measure for the cubic defocusing Schrödinger equation on the real line with a decreasing interaction potential, in the sense that the non linearity $|u|^2u$ is multiplied by a function $χ$ which we assume integrable and smooth enough. We prove that this equation is globally well-posed in the support of this measure and that the measure is invariant under the flow of the equation. What is more, the support of the measure (the set of initial data) is disjoint from $L^2$.

研究の動機と目的

• 実数直線上の三次非線形焦点化シュレーディンガー方程式に対して、減衰する相互作用ポテンシャル $\chi$ を持つ不変なギブス測度を構成すること。
• \mathbb{R}$ 上のラプラシアンにおけるスペクトルギャップの欠如を扱い、これにより従来の固有関数展開が不可能であることを解決すること。
• 構成された測度の台上で方程式の大域的良設定性を証明すること。
• 台が $L^2$ の外にあるにもかかわらず、方程式のフローよりも測度が不変であることを示すこと。
• 線形フローの連続性を保証し、弱収束の議論を可能にする適切な弱トポロジー（$X^{-1/2-}$）を定義すること。

提案手法

• 測度のガウス成分 $\mu$ を、演算子 $1-\Delta$ に対応する重み $1/\sqrt{1+n^2}$ を持つ伊藤積分を含む確率変数の分布として構成する。
• 全ギブス測度 $\rho$ を $d\rho = e^{-H_p(u)} d\mu(u)$ として定義し、ここで $H_p(u) = \frac{1}{2}\int |u|^4$ はポテンシャルエネルギーである。
• 測度の有限次元近似 $\rho_k$ を用意し、それらが対応する有限次元フロー $\psi_k(t)$ に関して不変であることを証明する。
• 線形フローの連続性を保証するため、$\sigma_n = -1/2 - 1/n$ を用いて、$\|f\|_{\sigma_n} = \|\langle t\rangle^{-2}\langle x\rangle^{-2}(1-\Delta)^{\sigma_n/2}f\|_{L^2_{t,x}}$ というノルムの族によるトポロジー $X^{-1/2-}$ を導入する。
• 滑らかな切断と有限伝播速度の推定（カーネルの減衰を用いて）を用いて、初期データの局所的領域への影響を制御する。
• 弱収束 $\rho_k \to \rho$ とフローの連続性を用いて、全非線形フロー $\psi(t)$ における $\rho$ の不変性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンfiningポテンシャルのない $\mathbb{R}$ 上の三次非線形焦点化シュレーディンガー方程式に対して、不変なギブス測度を構成することは可能か？
• RQ2 測度の台が $L^2$ の外にある場合に、大域的良設定性と測度不変性を保証することは可能か？
• RQ3 測度の台を含む空間に適切なトポロジーを定義することで、線形フローの連続性を保証することは可能か？
• RQ4 有限次元近似と弱収束を用いて、極限測度が全非線形フローに関して不変であることを証明することは可能か？
• RQ5 スペクトルギャップの欠如の下で、局所的初期データの影響を制御するために有限伝播速度はどのような役割を果たすか？

主な発見

• 構成されたギブス測度 $\rho$ は、減衰ポテンシャル $\chi$ を持つ三次非線形焦点化シュレーディンガー方程式のフローに関して不変である。
• 測度 $\rho$ の台は $L^2$ と非交差しており、$\rho(L^2) = 0$ である。これは、有界領域における従来の結果とは顕著に異なる点である。
• 近似と一様収束の議論を用いて、$\rho$ の台上で方程式の大域的良設定性が確立された。
• 測度 $\rho$ は、それぞれの有限次元フローに関して不変である有限次元近似 $\rho_k$ の弱収束として得られた。
• $X^{-1/2-}$ トポロジーは、線形フローの連続性を保証し、弱収束の議論を可能にするために不可欠である。
• 有限伝播速度の推定を用いて、初期データの遠く離れた部分の影響を制御し、近似プロセスにおける切断の使用を可能にした。