[論文レビュー] Invariant measure of scalar first-order conservation laws with stochastic forcing

Arnaud Debussche, Julien Vovelle|arXiv (Cornell University)|Oct 14, 2013

Navier-Stokes equation solutions参考文献 16被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、非退化性および立方未満の成長条件が満たされる場合、任意の空間次元における確率的摂動を受けるスカラー1階保存則に対して、不変測度の存在と一意性を確立する。運動論的定式化と確率的平均化補題を用いて、$L^1$ 解理論を拡張し、二次未満のフラックスに対して混合性を証明する。これは、決定的および粘性設定からの結果を一般化する。

ABSTRACT

Under an hypothesis of non-degeneracy of the flux, we study the long-time behaviour of periodic scalar first-order conservation laws with stochastic forcing in any space dimension. For sub-cubic fluxes, we show the existence of an invariant measure. Moreover for sub-quadratic fluxes we show uniqueness and ergodicity of the invariant measure. Also, since this invariant measure is supported by Lp for some p small, we are led to generalize to the stochastic case the theory of L1 solutions developed by Chen and Perthame in 2003.

研究の動機と目的

• 周期的スカラー1階保存則が確率的摂動を受ける場合の長期的統計的挙動を確立すること。
• 1次元の確率的バーガース方程式における不変測度理論を高次元に一般化すること。
• 初期データに最小限の正則性仮定を置くことによって、確率的保存則に対する厳密な $L^1$ 解理論を構築すること。
• フラックスの非退化性および多項式成長条件の下で、不変測度の存在と一意性を証明すること。
• 運動論的定式化フレームワークを確率的偏微分方程式に拡張し、ショックの散逸を追跡し、緊密性の議論を可能にすること。

提案手法

• 著者らは、確率的保存則の運動論的定式化を採用し、双曲型偏微分方程式をショック散逸を追跡する運動論的測度を伴う運動論方程式に変換する。
• 解を確定的部 $u^0$、確率的ゆらぎ $u^lat$、およびポテンシャル項 $P$ に分解することで、個別的な事前推定が可能になる。
• ボシュュ・デスヴィレット（1999）が開発した適応された確率的平均化補題を用いて、運動論的測度および確率的項の一様有界性を導出し、法則の緊密性を保証する。
• 対角線論法を用いて、運動論的測度の弱収束する部分列を抽出し、極限不変測度の存在を導く。
• 一意性と混合性のため、$L^1$ 球への到達時間の解析を行い、小さなノイズ下での解の小ささを示す。$L^1$ での収縮性を活用する。
• 初期データを切り捨て $T_n(u_0)$ による近似を用いて $L^1$ 初期データへ拡張し、解および運動論的測度が $L^1$ で収束することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の空間次元における確率的摂動を受けるスカラー1階保存則に対して、不変測度が存在するか？
• RQ2 フラックス関数にどのような条件下で不変測度が一意的かつ混合的となるか？
• RQ3 $L^1$ 解理論が、低い可積分性を持つ不変測度を扱えるように一般化可能か？
• RQ4 運動論的定式化は、確率的設定におけるショック散逸および長期挙動の解析をどのように支援するか？
• RQ5 フラックスの非退化性は、不変測度の存在と一意性を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• フラックスが非退化的でかつ立方未満の成長を示す限り、任意の空間次元におけるスカラー1階保存則に対して不変測度が存在する。
• 二次未満のフラックスに対しては、不変測度は一意的であり、系は混合的である。これは、長期的統計的挙動が初期条件に依存しないことを意味する。
• 不変測度は $L^p(\bbT^N)$ 上に台を持つが、$p$ が小さい場合を含むため、$L^1$ 解理論の一般化が、このような低い可積分性に対応するために不可欠である。
• 解写像は $L^1$ で収縮的であり、$\|u^1(t) - u^2(t)\|_{L^1} \leq \|u_0^1 - u_0^2\|_{L^1}$ がほとんど surely 成り立つ。これにより安定性が保証される。
• 解は $L^1(\bbT^N)$ 内でほとんど確実に連続な軌道を持つ。不変測度は時間平均法則の弱収束として得られる。
• デブーシュとヴォヴェル（2010）と同様の条件下で、乗法的ノイズに対しても結果は拡張され、不変測度の存在と一意性が保たれる。