[論文レビュー] Invariant Measures for Path-Dependent Random Diffusions

Jianhai Bao, Jinghai Shao+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 18, 2017

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 21被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、連続時間マーキョフ連鎖によって駆動される経路依存確率的拡散過程に対して、定常的条件のもとで不変測度の存在と一意性を確立し、ウォッサーシュタイン距離における平衡への指数的収束を証明する。さらに、ステップサイズが十分に小さい場合、Euler-Maruyama 時間離散化がこれらの定常的性質を保持することを示し、指数関数的関数への新しい推定を用いて、マーキョフ跳躍過程の離散化に伴う課題を克服する。

ABSTRACT

In this work, we are concerned with existence and uniqueness of invariant measures for path-dependent random diffusions and their time discretizations. The random diffusion here means a diffusion process living in a random environment characterized by a continuous time Markov chain. Under certain ergodic conditions, we show that the path-dependent random diffusion enjoys a unique invariant probability measure and converges exponentially to its equilibrium under the Wasserstein distance. Also, we demonstrate that the time discretization of the path-dependent random diffusion involved admits a unique invariant probability measure and shares the corresponding ergodic property when the stepsize is sufficiently small. During this procedure, the difficulty arose from the time-discretization of continuous time Markov chain has to be deal with, for which an estimate on its exponential functional is presented.

研究の動機と目的

• 経路依存確率的拡散過程に連続時間マーキョフ連鎖成分を含む場合、その不変確率測度の存在と一意性を確立すること。
• 定常的条件下で、このような拡散過程がウォッサーシュタイン距離において平衡への指数的収束を示すこと。
• Euler-Maruyamaスキームを用いて、時間離散化されたバージョンにこれらの定常的性質を拡張すること。
• 連続時間マーキョフ連鎖の時間離散化が、数値スキームの長期的挙動解析に追加の困難をもたらすという課題に対処すること。
• 確率的スイッチング、経路依存性、ノイズを統合する経路依存確率的拡散過程のための厳密な解析的枠組みを提供すること。

提案手法

• 長期間の安定性を確立するために、ラプノフ型条件と基礎となるマーキョフ連鎖の定常性仮定を用いる。
• 収束の測定にウォッサーシュタイン距離を適用し、混合速度の定量的推定を可能にする。
• 経路依存設定における解の成長を制御するために、カップリング法とグローヴァル型不等式を組み合わせる。
• 数値スキームの長期的挙動を扱うために、時間離散化されたマーキョフ連鎖の指数関数的関数への新しい推定を導出する。
• 時間離散化にEuler-Maruyamaスキームを用い、ステップサイズが十分に小さい場合に不変測度が保存されることを証明する。
• 無限次元状態空間を扱うために、関数解析的枠組みにおいてM行列のテクニックと拡張されたVeretennikov-Khasminski条件を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連続時間マーキョフ連鎖成分を有する経路依存確率的拡散過程は、定常的条件下で一意な不変確率測度を有するか？
• RQ2 このような過程について、ウォッサーシュタイン距離による平衡への収束が定量的に評価可能か？
• RQ3 経路依存確率的拡散過程のEuler-Maruyama離散化は、不変測度の存在と一意性を保持するか？
• RQ4 マーキョフジャンプ過程の時間離散化は、数値スキームの長期的挙動および定常性にどのように影響するか？
• RQ5 解析において、離散化されたマーキョフ連鎖の指数関数的関数を制御するために必要な新しい推定は何か？

主な発見

• 指定された定常的条件下で、経路依存確率的拡散過程は一意な不変確率測度を有する。
• プロセスはウォッサーシュタイン距離において、不変測度へ指数的速さで収束し、収束レートは定常性パrameterに依存する。
• ステップサイズが十分に小さい場合、Euler-Maruyama 時間離散化は一意な不変確率測度を有する。
• 離散化スキームは指数的定常性の性質を継承し、長期的安定性および平衡への収束を保証する。
• 時間離散化された連続時間マーキョフ連鎖の指数関数的関数に関する新しい推定が導出され、数値スキームの長期的挙動の解析を可能にする。
• 無限次元的性質を考慮した関数解析的枠組みを用いて、結果が確立されている。