[論文レビュー] Invariant random subgroups of linear groups

Tsachik Gelander, Yair Glasner|arXiv (Cornell University)|Jul 10, 2014

Advanced Topology and Set Theory参考文献 42被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、単純で中心のないZariski閉包をもつ可算非アーベル線型群に対して、任意の非自明な不変確率的部分群（IRS）はほとんど確実に開部分群から構成され、そのIRS空間上での自由部分群の作用が確率空間の同型を誘導することを確立する。主な結果は、このようなIRSが、自由部分群と交わった際に無限生成となる部分群にのみ支持され、IRS構造が周囲群上の非離散群位相によって支配されることを示している。

ABSTRACT

Let $Γ< \mathrm{GL}_n(F)$ be a countable non-amenable linear group with a simple, center free Zariski closure, $\mathrm{Sub}(Γ)$ the space of all subgroups of $Γ$ with the, compact, metric, Chabauty topology. An invariant random subgroup (IRS) of $Γ$ is a conjugation invariant Borel probability measure on $\mathrm{Sub}(Γ)$. An $\mathrm{IRS}$ is called nontrivial if it does not have an atom in the trivial group, i.e. if it is nontrivial almost surely. We denote by $\mathrm{IRS}^{0}(Γ)$ the collection of all nontrivial $\mathrm{IRS}$ on $Γ$. We show that there exits a free subgroup $F < Γ$ and a non-discrete group topology $\mathrm{St}$ on $Γ$ such that for every $μ\in \mathrm{IRS}^{0}(Γ)$ the following properties hold: (i) $μ$-almost every subgroup of $Γ$ is open. (ii) $F \cdot Δ= Γ$ for $μ$-almost every $Δ\in \mathrm{Sub}(Γ)$. (iii) $F \cap Δ$ is infinitely generated, for every open subgroup. (iv) The map $Φ: (\mathrm{Sub}(Γ),μ) ightarrow (\mathrm{Sub}(F),Φ_* μ)$ given by $Δ\mapsto Δ\cap F$, is an $F$-invariant isomorphism of probability spaces. We say that an action of $Γ$ on a probability space, by measure preserving transformations, is almost surely non free (ASNF) if almost all point stabilizers are non-trivial. As a corollary of the above theorem we show that the product of finitely many ANSF $Γ$-spaces, with the diagonal $Γ$ action, is ASNF. Let $Γ< \mathrm{GL}_n(F)$ be a countable linear group, $A \lhd Γ$ the maximal normal amenable subgroup of $Γ$. We show that if $μ\in \mathrm{IRS}(Γ)$ is supported on amenable subgroups of $Γ$ then in fact it is supported on $\mathrm{Sub}(A)$. In particular if $A(Γ) = \langle e angle$ then $Δ= \langle e angle, μ$ almost surely.

研究の動機と目的

• 可算線型群において、非アーベル的で中心のないZariski閉包をもつ部分群の不変確率的部分群（IRS）の構造を理解すること。
• このような群における非自明なIRSが、ほとんど確実に開部分群に支持されることを確立すること。
• IRS空間上での作用が確率空間の同型を誘導する自由部分群の存在を示すこと。
• 線型群のアメーブル根がすべてのアメーブルIRSを捕らえることを証明し、アメーブル根が自明であれば非自明なアメーブルIRSは存在しないことを示すこと。
• 有限生成部分群による近似を用いて、非有限生成線型群へのこれらの結果の拡張を達成すること。

提案手法

• Γの部分群空間にChabauty位相を導入し、部分群のコンactな距離化可能空間を定義する。
• 不変確率的部分群（IRS）を、Γの共軛不変なボレル確率測度としてSub(Γ)に定義する理論を適用する。
• μ-ほとんど確実にすべての部分群が開となるようなΓ上に非離散群位相を構成する。
• 射影的力学と非常に近接な要素の存在を用いて、群の良い被覆を構築する。
• Poincaré再帰推定と独立性の議論を用いて、部分群の測度論的挙動を制御する。
• Γを上昇する有限生成部分群の列で近似することで、一般の場合を有限生成の場合に還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可算非アーベル線型群で、単純かつ中心のないZariski閉包をもつ場合、非自明な不変確率的部分群の構造は何か？
• RQ2 自由部分群F ⊂ Γが、非自明なIRS μの台上で測度論的に推移的（transitive）に作用できるか？
• RQ3 線型群におけるIRSは、どの程度開部分群またはアメーブル部分群に支持されるか？
• RQ4 アメーブル根A(Γ)は、Γ上のアメーブルIRSの支持をどのように制御するか？
• RQ5 Γ上に非離散群位相を用いて、IRS構造を理解できるか？

主な発見

• 任意の非自明なIRS μ ∈ IRS⁰(Γ)に対して、μ-ほとんど確実にすべての部分群 Δ ≤ Γ はΓにおいて開である。
• Γ内の自由部分群 F < Γ が存在し、すべての Δ ∈ Sub(Γ) に対して μ-ほとんど確実に F·Δ = Γ が成り立つ。
• μ-ほとんど確実にすべての Δ ∈ Sub(Γ) に対して、F ∩ Δ は無限生成である。
• 写像 Δ ↦ Δ ∩ F は、(Sub(Γ), μ) と (Sub(F), Φ*μ) 間のF不変な確率空間の同型写像である。
• μ ∈ IRS(Γ) がアメーブル部分群に支持されるならば、μ はA(Γ)の部分群Sub(A)に支持される。
• 特に、A(Γ) = ⟨e⟩ ならば、μ-ほとんど確実に Δ = ⟨e⟩ であるため、非自明なアメーブルIRSは存在しない。