[論文レビュー] Invariant random subgroups of the lamplighter group

Lewis Bowen, Rostislav Grigorchuk+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 2012

Advanced Topology and Set Theory参考文献 16被引用数 17

ひとこと要約

本稿は、ランプライトァー群 $\mathcal{L}_{n,p} = (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^n \wr \mathbb{Z}$ における不変確率測度部分群（IRS）を調査し、群 $G$ の部分群の空間 $\mathrm{Sub}(G)$ のカントール・ベンディクソン階数および完全核を同定する。空間 $\mathrm{Sub}(G)$ における自己同型不変ボレル確率測度の空間は、標準的なプーレンセン部分単体を備えた単体をなしており、また、有限群 $F$ と性質 $(T)$ を持たない無限群 $\Gamma$ に対して、$F\wr\Gamma$ 上で $\bigoplus_\Gamma F$ に台を持つIRS測度の空間もプーレンセン単体をなすことを示す。

ABSTRACT

Let $G$ be one of the lamplighter groups $({\mathbb{Z}/p\bz})^n\wr\mathbb{Z}$ and $\Sub(G)$ the space of all subgroups of $G$. We determine the perfect kernel and Cantor-Bendixson rank of $\Sub(G)$. The space of all conjugation-invariant Borel probability measures on $\Sub(G)$ is a simplex. We show that this simplex has a canonical Poulsen subsimplex whose complement has only a countable number of extreme points. If $F$ is a finite group and $Γ$ an infinite group which does not have property $(T)$ then the conjugation-invariant probability measures on $\Sub(F\wrΓ)$ supported on $\oplus_ΓF$ also form a Poulsen simplex.

研究の動機と目的

• ランプライトァー群 $\mathcal{L}_{n,p} = (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^n \wr \mathbb{Z}$ における不変確率測度部分群（IRS）の構造を分類すること。
• 群 $G$ のすべての部分群の空間 $\mathrm{Sub}(G)$ のカントール・ベンディクソン階数および完全核を同定すること。
• $\mathrm{Sub}(G)$ における自己同型不変ボレル確率測度の空間の位相的および測度論的構造を分析すること。
• この空間が単体をなし、標準的なプーレンセン部分単体を有することを確立し、その補集合の極点を特徴づけること。
• 有限群 $F$ と性質 $(T)$ を持たない無限群 $\Gamma$ に対して、$F\wr\Gamma$ 上の結果を拡張すること。

提案手法

• 著者たちは、$\{0,1\}^G$ のティコノフ位相に誘導される $\mathrm{Sub}(G)$ 上の位相を用い、部分群をその特性関数と同一視する。
• 群 $G$ の $\mathrm{Sub}(G)$ への共役作用を分析し、弱*-位相における自己同型不変ボレル確率測度の空間 $\mathrm{IRS}(G)$ を研究する。
• カントール・ベンディクソン導来を $\mathrm{Sub}(G)$ に繰り返し適用し、階数を計算し、完全核 $\mathcal{K}(G)$ を抽出する。
• $\mathcal{Z}$ と呼ばれる三重組 $(t, r)$ の空間から $\mathrm{Sub}(G)$ への写像 $\Phi$ を構成し、不変量 $t_{V}$ および $r_{V}$ を用いて部分群の情報を符号化する。
• $\mathcal{Z}$ における収束を分析し、$\Phi$ が極限を保存することを示し、与えられた部分群へ収束する部分群の列の構成を可能にする。
• 環 $\mathbb{Z}[x]/(x^t - 1)$ 上のモジュールにおける部分群の成長およびランクに関する補題を用い、所望の不変量および収束性を持つ部分群を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランプライトァー群 $\mathrm{Sub}(\mathcal{L}_{n,p})$ のカントール・ベンディクソン階数は何か？
• RQ2 $G = \mathcal{L}_{n,p}$ の場合、$\mathrm{Sub}(G)$ 内の完全核 $\mathcal{K}(G)$ の構造は何か？
• RQ3 $\mathrm{Sub}(G)$ における自己同型不変測度の空間はプーレンセン単体をなすか？その極点の性質は何か？
• RQ4 $F$ が有限で $\Gamma$ が無限かつ性質 $(T)$ を持たないとき、$\mathrm{IRS}(F\wr\Gamma)$ の構造はどのように振る舞うか？
• RQ5 $\mathrm{Sub}(G)$ 内の部分群の収束は、不変量 $t_V$ および $r_V$ を用いて特徴づけられるか？

主な発見

• カントール・ベンディクソン階数 $\mathrm{Sub}(\mathcal{L}_{n,p})$ は有限であり、明示的に同定され、完全核 $\mathcal{K}(G)$ は非可算であり、カントール集合に位相的に同相である。
• $\mathrm{Sub}(G)$ における自己同型不変測度の空間 $\mathrm{IRS}(G)$ は単体をなし、その中には補集合が可算個の極点しか持たない標準的なプーレンセン部分単体を含む。
• $F$ が有限で $\Gamma$ が無限かつ性質 $(T)$ を持たないとき、$\bigoplus_\Gamma F$ に台を持つ $F\wr\Gamma$ 上のIRS測度の空間はプーレンセン単体をなす。
• $\Phi: \mathcal{Z} \to \mathrm{Sub}(G)$ は、完全核上への連続かつ全射写像であり、収束する部分群列の構成を可能にする。
• 部分群 $V_m \to V$ の収束は、不変量の収束 $t_{V_m} \to t_V$ および $r_{V_m} \to r_V$ によって特徴づけられ、非安定化の場合には積 $t_{V_m} r_{V_m} < t_V r_V$ が厳密に成り立つ。
• $t'r' < tr$ かつ $V_m \to V$ となるような任意の $t_{V_m} = t'$ および $r_{V_m} = r'$ を持つ部分群の存在は、$R^n$ 上のモジュール論的構成により確立される。