[論文レビュー] All genus correlation functions for the hermitian 1-matrix model

Bertrand Eynard|arXiv (Cornell University)|Jul 29, 2004

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 12被引用数 162

ひとこと要約

本稿では、ヘルミート型1行列模型のループ方程式を、ポテンシャルの微分に依存しない新しい形式で提示し、$1/N^2$位相的展開のすべての位において、すべての相関関数を正確に計算可能にする。主な結果は、すべての genus $h$ 相関関数 $W_k^{(h)}$ がハイパーエリプティック曲線上の留数として表現され、それらをその曲線上の $\rho^3$ 理論のフェ Feynman フェルミオン図として解釈できることであり、代数幾何学と組合せ論を用いて、多ループ相関関数の完全で可積分な解が得られることを示している。

ABSTRACT

We rewrite the loop equations of the hermitian matrix model, in a way which allows to compute all the correlation functions, to all orders in the topological $1/N^2$ expansion, as residues on an hyperelliptical curve. Those residues, can be represented diagrammaticaly as Feynmann graphs of a cubic interaction field theory on the curve.

研究の動機と目的

• ヘルミート行列模型のループ方程式を、ポテンシャルに関する明示的な微分を避ける新しい形式で開発すること。
• すべての相関関数 $\overline{W}_k(x_1,\dots,x_k)$ を $1/N^2$ 位相的展開のすべての位において計算すること。
• genus $h$ 相関関数 $W_k^{(h)}$ をハイパーエリプティック曲線上の留数として表現すること。
• これらの留数が、その曲線上の立方体場理論のフェイニマン図として解釈できることを示すこと。
• 反復的なポテンシャル微分を必要としない、再帰的で可積分な $W_k^{(h)}$ 関数の解を提供すること。

提案手法

• 標準的なループ方程式を、新しい代数的枠組み（リゾルベント関数と閉路積分に基づく）を用いて再定式化し、ポテンシャルの微分を排除する。
• $k$-点相関関数 $W_k^{(h)}$ を、ポテンシャル $V(x)$ から導かれる多項式 $R(x)$ を用いて定義されるスペクトル曲線 $y^2 = R(x)$ に沿ったハイパーエリプティックリーマン面の留数として定義する。
• 新しいループ方程式に基づく再帰的アルゴリズムを用い、$W_1^{(0)}$ から出発して、$1/N^2$ 展開の各位階で $W_k^{(h)}$ を順次計算する。
• $W_k^{(h)}$ をすべての頂点が相互作用を表し、辺が伝播関数を表す、ハイパーエリプティック曲線上の $\phi^3$-型理論のフェイニマン図の和として表現する。
• グラフの組合せ論を記述する生成関数 $R_h(x)$ と $S(x)$ を導入し、$S(x)$ がアイルリー関数と関連する非線形常微分方程式を満たすことを示す。
• 生成関数と漸近的解析を用いて、グラフの数 $N_k^{(h)}$ の明示的組合せ的表現を導出し、それらを二重階乗と二項係数に関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、ヘルミート行列模型のループ方程式を、ポテンシャルの微分に依存しない形に再定式化できるか？
• RQ2 多トレース相関関数の $1/N^2$ 位相的展開の背後にある正確な代数的幾何的構造は何か？
• RQ3 genus $h$ 相関関数 $W_k^{(h)}$ はリーマン面上の留数として表現可能であり、そのような表現が可能である場合、それに対応する場の理論の性質は何か？
• RQ4 $W_k^{(h)}$ 関数は、曲線上の立方体理論のフェイニマン図として組合せ論的解釈可能か？
• RQ5 $1/N^2$ 展開全体を、反復的なポテンシャル微分を必要とせずに再帰的に統合できるか？

主な発見

• k-点相関関数 $W_k^{(h)}$ は、ポテンシャル $V(x)$ から導かれる多項式 $R(x)$ を用いて定義される $y^2 = R(x)$ で与えられるハイパーエリプティック曲線上の留数として正確に与えられる。
• genus $h$ 相関関数 $W_k^{(h)}$ は、$k$ 個の外部レグと $h$ 個のループを持つハイパーエリプティック曲線上の $\phi^3$-理論のフェイニマン図と一対一に対応していることが示された。
• このような図の数 $N_k^{(h)}$ は、公式 $N_k^{(h)} = s_h \cdot (k-1)! \cdot 4^{k-1} \cdot \binom{\frac{3(h-1)}{2} + k - 1}{k-1}$ で与えられ、$s_h$ はアイルリー関数に関連する再帰的関係を満たす。
• 生成関数 $S(x) = \sum_h s_h x^h$ は、非線形常微分方程式 $S^2(x) - \frac{1}{4} + 6x^2 S'(x) - 2x S(x) = 0$ を満たし、アイルリー関数を含む積分の比として解かれる。
• 1カットの場合、全位相的展開が明示的に計算され、$W_k^{(h)}$ 関数がリゾルベントおよびその微分の有理関数として与えられることが示された。
• $k$ レグ、$h$ ループのグラフの集合 $\mathcal{T}_k^{(h)}$ の濃度は、$N_k^{(h)} = \frac{(2k-4)!}{(k-2)!} \cdot 2^{k-2} \cdot s_h \cdot \binom{\frac{3(h-1)}{2} + k - 1}{k-1}$ として導出され、$s_h$ は再帰的に計算可能である。