[論文レビュー] Inverse limit spaces satisfying a Poincare inequality

Jeff Cheeger, Bruce Kleiner|arXiv (Cornell University)|Dec 18, 2013

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、測度付きグラフの逆極限空間が (1,1)-Poincaré 不等式とダブリングを満たし、PI 空間となるための十分条件を確立する。著者らは、射影に沿った連続的で曖昧な断面を用いた新しい帰納的平均化法により、一様な Poincaré およびダブリングの境界を証明し、Banach 空間に Radon-Nikodym 性質を備えた非双リプシッツ埋め込み可能な例を含む広範な新しい PI 空間の族を構成する。

ABSTRACT

We give conditions on Gromov-Hausdorff convergent inverse systems of metric measure graphs (and certain higher dimensional inverse systems of metric measure spaces) which imply that the measured Gromov-Hausdorff limit (equivalently, the inverse limit) is a PI space, i.e. it satisfies a doubling condition and a Poincare inequality in the sense of Heinonen-Koskela. We also give a systematic construction of examples for which our conditions are satisfied. Included are known examples of PI spaces, such as Laakso spaces, and a large class of new examples. Generically our graph examples have the property that they do not bilipschitz embed in any Banach space with Radon-Nikodym property, but they do embed in the Banach space L_1. For Laakso spaces, these facts were discussed in our earlier papers.

研究の動機と目的

• 測度付きグラフの逆系が Gromov-Hausdorff の極限として PI 空間となるための条件を同定すること。
• 連続的な曖昧な断面を用いた平均化により、(1,1)-Poincaré 不等式を帰納的に証明する新しい技法を開発すること。
• 特に、双リプシッツに埋め込めない例を含む、新しい PI 空間の体系的構成を行うこと。
• 立方体複体を用いて高次元の逆系にこの枠組みを拡張し、経路族と曖昧な断面を用いて Poincaré 不等式を検証すること。

提案手法

• 局所的幾何の有界性、測度の整合性、codimension-1 の面をまたがる連続性を保証する6つの公理により「許容的」な逆系を定義する。
• 射影写像のファイバー上の確率測度として、弱位相で連続に変化する連続的な曖昧な断面を用いる。
• 曖昧な断面を用いてファイバー上での関数の平均化と上部勾配を組み合わせ、帰納的に (1,1)-Poincaré 不等式を証明する。
• 逆系の各段階で局所的かつ独立した選択を行うことで、構成を帰納的に行う。
• 経路の上への持ち上げに自然な確率測度を導入し、Poincaré 不等式の検証に第二の証明戦略を適用する。
• ギャラリー直径と測度の整合性を制御する立方体複体を用いて、高次元系への枠組みの一般化を実行する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 測度付きグラフの逆系が Gromov-Hausdorff の極限として (1,1)-Poincaré 不等式とダブリングを満たすための条件は何か？
• RQ2 連続的な曖昧な断面を用いた新しい帰納的平均化法が、このような極限における Poincaré 不等式の証明に用いられるか？
• RQ3 この枠組みを用いて体系的に構成可能な新しい PI 空間のクラスは何か？ それらの幾何学的・解析的性質は何か？
• RQ4 構成された PI 空間は、Radon-Nikodym 性質を備えた Banach 空間に双リプシッツに埋め込めるか？ その理由は何か？
• RQ5 この枠組みを高次元の逆系に拡張可能か？ また、Poincaré 不等式が成り立つために必要な修正は何か？

主な発見

• 許容的逆系の測度付き Gromov-Hausdorff 極限は、(1,1)-Poincaré 不等式を満たす PI 空間である。
• ダブリング定数および Poincaré 不等式の定数は、すべてシステムの構造的パラメータ m ≥ 2, Δ, θ, C のみに依存する。
• 逆極限は位相次元 1、解析次元 1、Hausdorff 次元 >1 を有するが、退化した場合を除く。
• 一般に、これらの空間は Radon-Nikodym 性質を備えた任意の Banach 空間に双リプシッツに埋め込めず、Laakso 空間に関する結果を拡張する。
• Poincaré 不等式は、連続的な曖昧な断面と経路族の測度という二通りの異なる方法で証明可能である。
• 立方体複体を用いることで、この枠組みは高次元の逆系へ一般化可能であり、適切な公理のもとで Poincaré 不等式は保存される。