[論文レビュー] Inverse scattering transform and soliton solutions for the modified matrix Korteweg-de Vries equation with nonzero boundary conditions

Jin‐Jie Yang, Shou‐Fu Tian+1 more|arXiv (Cornell University)|May 1, 2020

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 43被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、非ゼロ境界条件（NZBCs）を伴う修正行列Korteweg-de Vries（mmKdV）方程式に対する逆散乱理論を、一般化されたリーマン＝ヒルベルト問題を用いて開発する。$2m\times2m$のLaxペアに対する直接散乱および逆散乱フレームワークを確立し、反射なしポテンシャルの再構成公式を導出し、スカラーおよび対称$2\times2$行列ケースにおける1ソリトンおよび2ソリトン解を明示的に提示。NZBCs下での漸近的位相シフトおよびソリトンダイナミクスを明らかにする。

ABSTRACT

The theory of inverse scattering is developed to study the initial-value problem for the modified matrix Korteweg-de Vries (mmKdV) equation with the $2m imes2m$ $(m\geq 1)$ Lax pairs under the nonzero boundary conditions at infinity. In the direct problem, by introducing a suitable uniform transformation we establish the proper complex $z$-plane in order to discuss the Jost eigenfunctions, scattering matrix and their analyticity and symmetry of the equation. Moreover the asymptotic behavior of the Jost functions and scattering matrix needed in the inverse problem are analyzed via Wentzel-Kramers-Brillouin expansion. In the inverse problem, the generalized Riemann-Hilbert problem of the mmKdV equation is first established by using the analyticity of the modified eigenfunctions and scattering coefficients. The reconstruction formula of potential function with reflection-less case is derived by solving this Riemann-Hilbert problem and using the scattering data. In addition the dynamic behavior of the solutions for the focusing mmKdV equation including one- and two- soliton solutions are presented in detail under the the condition that the potential is scalar and the $2 imes2$ symmetric matrix. Finally, we provide some detailed proofs and weak version of trace formulas to show that the asymptotic phase of the potential and the scattering data.

研究の動機と目的

• 非ゼロ境界条件（NZBCs）下での修正行列Korteweg-de Vries（mmKdV）方程式に対する逆散乱変換を開発すること。
• ジョスト関数、散乱行列、およびそれらの均一化された複素z平面における正則性を用いた直接散乱問題を確立すること。
• 散乱データからのポテンシャル再構成を可能にする、一般化されたリーマン＝ヒルベルト問題を形式化し、逆散乱を定式化すること。
• スカラーおよび対称$2\times2$行列ポテンシャル下での焦点型mmKdV方程式に対する明示的1および2ソリトン解を導出すること。
• $x \to -\infty$におけるポテンシャルと境界値の間の位相シフトを含む、解の漸近的挙動を分析すること。

提案手法

• Jost固有関数およびNZBCs下での散乱データの解析に適した複素z平面を定義するため、均一化座標変換を導入する。
• Wentzel-Kramers-Brillouin（WKB）展開を適用し、ジョスト関数および散乱行列の漸近的挙動を導出する。
• 3つの異なる対称性の下で散乱行列および固有関数の対称性関係を確立し、NZBCs下でも構造を保存することを保証する。
• 変更された固有関数および散乱係数の正則性とジャンプ条件を用いて、一般化されたリーマン＝ヒルベルト問題を定式化する。
• リーマン＝ヒルベルト問題を解き、反射なしの場合にポテンシャルを再構成し、明示的なソリトン解を導出する。
• トレース公式および留数条件を用いて、ポテンシャルの漸近的位相と散乱データおよびノーマライゼーション定数の関係を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして$2m\times2m$行列ポテンシャルを伴うmmKdV方程式に対する逆散乱変換を非ゼロ境界条件に拡張できるか？
• RQ2 複素z平面におけるNZBCs下で、ジョスト固有関数および散乱行列の解析的性質および対称性は何か？
• RQ3 一般化されたリーマン＝ヒルベルト問題は、反射なしの場合に散乱データからポテンシャルを再構成するためにどのように機能するか？
• RQ4 $x \to -\infty$におけるポテンシャルと境界条件との間の漸近的位相関係は何か？
• RQ5 スカラーおよび対称$2\times2$行列ポテンシャルを伴う1および2ソリトン解は、NZBCs下でどのように動的に振る舞うか？

主な発見

• 非ゼロ境界条件を伴うmmKdV方程式に対して、一般化されたリーマン＝ヒルベルト問題が成功裏に定式化され、$2m\times2m$行列ポテンシャルに対する逆散乱解析が可能になった。
• 反射なしの場合、リーマン＝ヒルベルト問題を用いてポテンシャルが再構成され、スカラーおよび対称$2\times2$行列形式の明示的1および2ソリトン解が得られた。
• スカラー焦点型の場合、1ソリトン解は$x \to -\infty$において$Q(x,t) \sim e^{-4i\tau}k_0$に漸近的に近づく。ここで$\tau$は離散固有値の位相である。
• $\det C_1 = 0$を満たす$2\times2$対称行列ケースでは、1ソリトン解は$\Delta_1^{-}$によって制御される位相シフトを示し、ノーマライゼーション定数行列のトレースおよび余因子項を含む漸近的挙動を示す。
• ポテンシャルの漸近的位相が弱いトレース公式を通じて散乱データと関連づけられ、ポテンシャルの時間発展と散乱係数の整合性が確認された。
• ソリトンのダイナミクス、特に位相シフトおよび摂動の指数的減衰は、$X_1 = \Upsilon_1 \Gamma_1^{-1}$および$X_2 = \Upsilon_2 \Gamma_2^{-1}$の漸近的解析により、解析的に確認された。