[論文レビュー] Inverse scattering transform for the nonlocal reverse space-time Sine-Gordon, Sinh-Gordon and nonlinear Schrödinger equations with nonzero boundary conditions

Mark J. Ablowitz, Bao‐Feng Feng+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 7, 2017

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 23被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、非局所的逆散乱変換（IST）を非ゼロ境界条件（NZBCs）を伴う非局所的逆空間時間Sine-Gordon、Sinh-Gordon、および非線形シュレーディンガー（NLS）方程式に適用する。複雑なスペクトル分岐構造に対処し、1および2ソリトン解の明示的導出を行い、RST NLS方程式における散乱データの時間依存性とSine/Sinh-Gordon方程式との間の重要な相違を明らかにする。

ABSTRACT

The reverse space-time (RST) Sine-Gordon, Sinh-Gordon and nonlinear Schrödinger equations were recently introduced and shown to be integrable infinite-dimensional dynamical systems. The inverse scattering transform (IST) for rapidly decaying data was also constructed. In this paper, IST for these equations with nonzero boundary conditions (NZBCs) at infinity is presented. The NZBC problem is more complicated due to the associated branching structure of the associated linear eigenfunctions. With constant amplitude at infinity, four cases are analyzed; they correspond to two different signs of nonlinearity and two different values of the phase at infinity. Special soliton solutions are discussed and explicit 1-soliton and 2-soliton solutions are found. In terms of IST, the difference between the RST Sine-Gordon/Sinh-Gordon equations and the RST NLS equation is the time dependence of the scattering data. Spatially dependent boundary conditions are also briefly considered.

研究の動機と目的

• 非ゼロ境界条件（NZBCs）を伴う非局所的逆空間時間（RST）可積分方程式への逆散乱変換（IST）の拡張を目的とし、これは減衰データのケースよりも複雑である。
• 非ゼロ境界条件（NZBCs）に起因する関連線形固有関数におけるスペクトル分岐構造、特に非局所的RST Sine-Gordon、Sinh-Gordon、およびNLS方程式に対して解明する。
• 非線形性の2つの符号と無限遠における2つの位相値に基づいて解を分類し、NZBCsに対して4つの異なるケースを導出する。
• 非ゼロ境界条件（NZBCs）下での非局所的RST NLSおよびSine/Sinh-Gordon方程式に対して、1ソリトンおよび2ソリトン解の明示的導出を行う。
• 非ゼロ境界条件（NZBCs）下での非局所的RST NLS方程式とRST Sine/Sinh-Gordon方程式における散乱データの時間発展の違いを明確にする。

提案手法

• 非局所的RST対称性還元 $ r(x,t) = \sigma q(-x,-t) $、ここで $ \sigma = \pm 1 $、に適応したAKNSフレームワークを用い、関連する線形固有値問題と時間発展方程式を導出する。
• 一様化変数技術を適用して、リーマン面上の逆問題を上半平面および下半平面における標準的なISTに変換し、NZBCsに起因するスペクトル分岐問題を解消する。
• 4つのケース（非線形性の符号 $ \sigma = \pm 1 $ と無限遠における2つの位相値 $ \theta_+ + \theta_- = 0, \pi $）における散乱データを分析し、それぞれ異なるソリトン行動を示す。
• 散乱データの時間発展を導出し、RST NLS方程式では散乱データが明示的に時間に依存するが、Sine/Sinh-Gordon方程式ではそうではないことを示す。
• Gelfand-Levitan-Marchenko積分方程式を用いて、逆散乱形式を用いて1および2ソリトン解を構築する。
• 空間依存境界条件を短い延長として検討するが、主な焦点は一定振幅のNZBCsに留まる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非ゼロ境界条件（NZBCs）を伴う非局所的RST Sine-Gordon、Sinh-Gordon、およびNLS方程式に、逆散乱変換（IST）をどのように一般化できるか？
• RQ2 NZBCs下でのこれらの方程式におけるスペクトルおよび散乱データ構造、特にリーマン面の分岐に関しては？
• RQ3 非ゼロ境界条件（NZBCs）下での非局所的RST NLS方程式とRST Sine/Sinh-Gordon方程式における散乱データの時間依存性にどのような違いがあるか？
• RQ4 これらの非局所的方程式に非ゼロ境界条件（NZBCs）を伴う1ソリトンおよび2ソリトン解の明示的形は何か？
• RQ5 特異的ソリトン解が生じる条件は何か？また、それらは位相および非線形性の符号にどのように依存するか？

主な発見

• 非ゼロ境界条件（NZBCs）を伴う非局所的RST Sine-Gordon、Sinh-Gordon、およびNLS方程式に対する逆散乱変換（IST）が成功裏に構築され、一様化により複雑なスペクトル分岐が解消された。
• 非線形性の符号（$ \sigma = \pm 1 $）と無限遠での位相（$ \theta_+ + \theta_- = 0, \pi $）の組み合わせから4つの異なるケースが生じ、それぞれが固有の散乱およびソリトン構造を持つ。
• すべての4つのケースに対して明示的な1ソリトン解が導出され、$ \sigma = 1, \delta = -1 $ および $ \sigma = -1, \delta = 1 $ の場合に特異的ソリトン解が含まれ、双曲・三角関数を含む閉形式の式で表される。
• 非局所的RST NLS方程式に対して、$ \sigma = 1, \theta_+ + \theta_- = \pi $ および $ \sigma = -1, \theta_+ + \theta_- = \pi $ の下で2ソリトン解が明示的に構築され、$ \delta_1 \delta_2 = 1 $ に応じて異なる挙動を示す。
• 重要な相違点として、RST NLS方程式の散乱データは明示的に時間に依存するが、RST Sine/Sinh-Gordon方程式の散乱データはそうではないことが判明した。
• 特異的ソリトン解が可視化され、パラメータに応じて非減衰的・振動的・ショック波的プロファイルを示すことが示され、すべてのケースにおいて $ q(x,t) $ の明示的式が提供された。