[論文レビュー] Inverse scattering transform for the nonlocal nonlinear Schrödinger equation with nonzero boundary conditions

Mark J. Ablowitz, Xu‐Dan Luo+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 8, 2016

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 20被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、空間無限遠における非ゼロ境界条件（NZBCs）を有する非局所非線形シュレーディンガー方程式の逆散乱変換（IST）を、均一化変数を用いた左-右リーマン＝ヒルベルト問題によって開発する。非線形性の符号と位相差の3つの組み合わせについて、1ソリトンおよび2ソリトン解を明示的に導出し、4番目のケースではソリトンが存在しない。また、平面波解のモード不安定性基準を確立する。

ABSTRACT

In 2013 a new nonlocal symmetry reduction of the well-known AKNS scattering problem was found; it was shown to give rise to a new nonlocal $PT$ symmetric and integrable Hamiltonian nonlinear Schrödinger (NLS) equation. Subsequently, the inverse scattering transform was constructed for the case of rapidly decaying initial data and a family of spatially localized, time periodic one soliton solution were found. In this paper, the inverse scattering transform for the nonlocal NLS equation with nonzero boundary conditions at infinity is presented in the four cases when the data at infinity have constant amplitudes. The direct and inverse scattering problems are analyzed. Specifically, the direct problem is formulated, the analytic properties of the eigenfunctions and scattering data and their symmetries are obtained. The inverse scattering problem is developed via a left-right Riemann-Hilbert problem in terms of a suitable uniformization variable and the time dependence of the scattering data is obtained. This leads to a method to linearize/solve the Cauchy problem. Pure soliton solutions are discussed and explicit 1-soliton solution and two 2-soliton solutions are provided for three of the four different cases corresponding to two different signs of nonlinearity and two different values of the phase difference between plus and minus infinity. In the one other case there are no solitons.

研究の動機と目的

• 空間無限遠における非ゼロ境界条件の下で、非局所非線形シュレーディンガー方程式への逆散乱変換を拡張すること。
• 境界値間の非線形性の符号（$\sigma = \pm 1$）と位相差（$\Delta\theta = \theta_+ - \theta_-$）に基づいて解を分類すること。
• 均一化変数を用いた左-右リーマン＝ヒルベルト定式化を用いて、直接および逆散乱問題を構築すること。
• 4つの異なるケースにわたる純ソリトン解の存在およびダイナミクスを明らかにするために、明示的な純ソリトン解を導出すること。
• 異なる境界位相および非線形性条件の下で、定幅平面波解のモジュレーション不安定性を調査すること。

提案手法

• 非ゼロ境界条件（NZBCs）を有する非局所NLS方程式の直接散乱問題を定式化し、固有関数および散乱データの解析的性質と対称性を分析する。
• リーマン＝ヒルベルト問題を単一の複素平面へ写像するために均一化変数を導入し、左散乱データと右散乱データの統一的取り扱いを可能にする。
• 左-右リーマン＝ヒルベルト問題を構築して逆散乱問題を解き、$PT$-対称構造に起因する対称性を組み込む。
• 散乱データの時間発展を導出し、非局所NLS方程式のコーシー問題を線形化する。
• 逆散乱フレームワークを用いて、4つのケースのうち3つの組み合わせについて、明示的な1ソリトンおよび2ソリトン解を構築する。
• 摂動展開を用いた線形安定性解析により、定幅解のモジュレーション不安定性を研究する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 境界条件がゼロに収束する場合と異なり、非ゼロ境界条件の下で非局所NLS方程式の逆散乱変換はどのように異なるか？
• RQ2 NZBC領域における固有関数および散乱データの解析的性質と対称性は何か？
• RQ3 非局所構造を扱うために、均一化変数を用いた左-右リーマン＝ヒルベルト問題をどのように定式化し、解くことができるか？
• RQ4 どのような条件下で純ソリトン解が存在し、そのダイナミクス的特徴は何か？
• RQ5 非局所NLSフレームワークにおける定幅平面波解のモジュレーション安定性または不安定性を決定するのは何か？

主な発見

• 1ソリトン解は $\sigma = -1$ および $\Delta\theta = \pi$ のとき存在し、これは静的で時間周期的なソリトンに対応する。
• 2ソリトン解は $\sigma = -1$ および $\Delta\theta = 0$ のとき存在し、静的で振動的な2ソリトン状態を記述する。
• $\sigma = 1$ および $\Delta\theta = 0$ の場合、進行する双方向2ソリトン解が得られ、ソリトン同士が非自明に相互作用する。
• $\sigma = 1$ および $\Delta\theta = \pi$ のケースでは、散乱データに離散固有値が存在しないため、ソリトン解は存在しない。
• モジュレーション不安定性解析により、$\sigma = -1$ の場合、$\Delta\theta = 0$ の平面波は不安定（2つの虚数固有値）であるが、$\sigma = +1$ の場合は安定である。
• $\Delta\theta = \pi$ の場合、定幅解は $\sigma = \pm 1$ の両方においてモジュレーション安定であり、不安定性スペクトルは複素平面に存在するが、成長モードは存在しない。