[論文レビュー] Inverse semigroup expansions and their actions on C*-algebras

Alcides Buss, Ruy Exel|arXiv (Cornell University)|Dec 4, 2011

Advanced Operator Algebra Research参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、逆半群 G の prefix 展開 Pr(G) を生成子と関係式による記述として提示し、それが G の部分的作用および表現を支配することを示している。G 上のフェルバンドルと Pr(G) 上の飽和フェルバンドルとの間に標準的な同値関係を確立し、G と Pr(G) による交叉積が同型であることを証明することで、Pr(G) を通じて部分的かつグローバルな作用を統一している。

ABSTRACT

In this work, we give a presentation of the prefix expansion Pr(G) of an inverse semigroup G as recently introduced by Lawson, Margolis and Steinberg which is similar to the universal inverse semigroup defined by the second named author in case G is a group. The inverse semigroup Pr(G) classifies the partial actions of G on spaces. We extend this result and prove that Fell bundles over G correspond bijectively to saturated Fell bundles over Pr(G). In particular, this shows that twisted partial actions of G (on C*-algebras) correspond to twisted (global) actions of Pr(G). Furthermore, we show that this correspondence preserves C*-algebras crossed products.

研究の動機と目的

• 逆半群 G の prefix 展開 Pr(G) の代替的、生成子と関係式による記述を提供し、それが部分的表現の分類における役割を強調すること。
• Pr(Pr(G)) や G が有限集合の場合の Pr(G) の濃度といった未解決の問題に答えることにより、Pr(G) の構造を明確にすること。
• 部分的準同型を伴う逆半群の圏と逆半群の圏との間の圏論的随伴関係を確立し、Pr(G) が忘却関手に対する左随伴関手であることを示すこと。
• G によるグローバルな作用への対応を、Pr(G) を通じて部分的およびねじれ付き作用へと拡張し、フェルバンドルと交叉積の対応関係を拡張すること。
• C*-代数に対する G の部分的（ねじれ付き）作用と Pr(G) の対応するグローバル（ねじれ付き）作用の下での、全交叉積および減少交叉積が同型であることを証明すること。

提案手法

• 各 s ∈ G に対して生成子 [s] を用い、[s][t][t*] = [st][t*]、[s*][s][t] = [s*][st]、[s][s*][s] = [s] という関係式を定義することで、Pr(G) を定義し、それが逆半群であることを保証する。
• idempotent 要素 ε_t = [t][t*] が互いに可換であり、[t]ε_s = ε_{ts}[t] を満たすことを証明し、これらは Pr(G) の普遍性に不可欠である。
• 部分的準同型を伴う逆半群の圏から逆半群の圏への関手を構成し、G ↦ Pr(G) が忘却関手に対する左随伴関手であることを示す。
• ファイバーの標準的拡張と部分等長作用素を用いて、G 上の正則フェルバンドルと Pr(G) 上の正則フェルバンドルとの間の全単射対応を確立する。
• 射影と部分等長作用素を含む関係式を満たすユニタリ族を用いて C*-代数上のねじれ付き部分的作用を定義し、それが正則フェルバンドルに対応することを示す。
• G 上のフェルバンドルの断面 C*-代数が、Pr(G) 上への拡張されたバンドルの断面代数と同型であり、全交叉積および減少交叉積が両方保存されることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 逆半群 G の prefix 展開 Pr(G) を、元の構成に依存しない生成子と関係式によってどのように記述できるか？
• RQ2 Pr(G) は部分的準同型および逆半群の圏論的関係において、どのような役割を果たすか？
• RQ3 G 上のフェルバンドルと Pr(G) 上の飽和フェルバンドルとの間の関係は何か？この対応は関手的か？
• RQ4 G の部分的（ねじれ付き）作用による交叉積と、Pr(G) の対応するグローバル（ねじれ付き）作用による交叉積は一致するか？
• RQ5 Pr(G) を繰り返し適用した場合、例えば Pr(Pr(G)) はどのような性質を持ち、G が有限集合の場合、そのサイズは G と比べてどうなるか？

主な発見

• prefix 展開 Pr(G) は、s ∈ G に対する生成子 [s] と3つの関係式によって記述可能であり、これは G の部分的表現を支配する普遍的逆半群として特徴づけられる。
• 写像 G ↦ Pr(G) は、部分的準同型を伴う逆半群の圏から逆半群の圏への左随伴関手関手である。
• G 上のフェルバンドルと Pr(G) 上の飽和フェルバンドルとの間には、標準的で、関手的で、全単射の対応関係が存在し、関連する C*-代数を保存する。
• C*-代数に対する G の部分的（ねじれ付き）作用と Pr(G) の対応するグローバル（ねじれ付き）作用の下での、全交叉積および減少交叉積は同型である。
• 任意の正則フェルバンドル (A, u) に対して、Pr(G) 上への誘導バンドルも正則であり、関連する部分等長作用素は Pr(G) 上に自然に拡張可能である。
• G のねじれ付き部分的作用 (β, ω) と正則フェルバンドル (A, u) の間には全単射の対応があり、関連する交叉積は B ⋊_β,ω G ≅ C*(A) および B ⋊_β,ω^r G ≅ C*_r(A) を満たす。