[論文レビュー] Inverse semigroups with rational word problem are finite

Tara Brough|arXiv (Cornell University)|Nov 15, 2013

semigroups and automata theory参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、2つのテープを非同期に読み取る有限オートマトンによって認識可能な、同じ要素を表す語のペアの集合（語問題）が有理的である逆半群は、必ず有限であることを証明する。証明は単生成逆半群の構造的解析に依拠し、唯一の無限候補である単生成自由逆半群は、語の等価性に関するポンピング補題風の矛盾により、有理的語問題をもたないことを示している。

ABSTRACT

This note proves a generalisation to inverse semigroups of Anisimov's theorem that a group has regular word problem if and only if it is finite, answering a question of Stuart Margolis. The notion of word problem used is the two-tape word problem -- the set of all pairs of words over a generating set for the semigroup which both represent the same element.

研究の動機と目的

• スティーブ・マーゴリスが提起した「無限逆半群が有理的語問題をもてるか」という問いに答えを提示すること。
• 群において「語問題が正則であるとは、その群が有限であることと同値である」とするアニシモフの定理を、逆半群のクラスへ拡張すること。
• 単生成逆半群の構造を分析することにより、有理的語問題をもつ逆半群は有限に限られることを示すこと。
• 唯一の無限候補である単生成自由逆半群が、実際に有理的語問題をもたないことを示すこと。
• オートマトン的および半群論的技法を用いて、逆半群における有理的語問題は有限性を示唆することを確立すること。

提案手法

• 生成集合上の語のペアの関係として、半群内で同じ要素を表す語のペアの語問題を定義する。
• 非同期有限状態オートマトン（AFSA）を用いて、有理的語問題の概念を形式化する。ここで、入力の2つのテープを同時に読み取るのではなく、非同時的に読み取る。
• 既知の結果を適用する：有理的語問題は生成集合の選択に依存せず、有理的語問題をもつ半群の有限生成部分半群も同様にこのクラスに属する。
• 単生成逆半群の分類（周期的、無限巡回、双子的、または自由単生成逆半群）を分析する。
• 自由単生成逆半群の語問題を認識するAFSAに対してポンピング補題を適用し、誤った語のペアが受理されることを示す。
• 標準的モデルにおける語の等価性を計算することで、オートマトンの受理と矛盾を引き起こし、受理の正しさを否定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限逆半群が有理的語問題をもてる可能性はあるか？
• RQ2 逆半群において、有理的語問題の条件は、群の場合と同様に有限性を示唆するのか？
• RQ3 唯一の無限逆半群としての候補である単生成自由逆半群は、実際に有理的語問題の条件によって除外されるのか？
• RQ4 有理的語問題をもつ逆半群の構造を完全に特徴づけられるか？ そして、すべての無限例が除外されるのか？
• RQ5 2テープオートマトンモデルは、特に自由でない状況下で、逆半群における語の等価性にどのような制限を課えるか？

主な発見

• 有理的語問題をもつ逆半群は有限に限られ、これはアニュシモフの定理を逆半群へ一般化するものである。
• 自由単生成逆半群は、オートマトンのポンピングと標準的モデルにおける語の等価性の矛盾から、有理的語問題をもたないことが示された。
• 自由単生成逆半群の語問題を認識する非同期有限オートマトンは、実際に半群内で等しくない語のペアを受理してしまうため、正しさに反する。
• 証明は、有理的語問題をもつ半群の無限部分半群が、無限位数の要素を含まなければならないという事実に依拠しており、このような要素は逆半群において自由単生成逆半群を導く。
• 有理的語問題をもつ半群において双子的モノイドや無限部分群が存在しないことから、逆半群における無限構造の可能性がさらに制限される。
• この結果により、逆半群のクラスにおいて、有理的語問題は正則性と同様に強い有限性条件であることが確認された。