[論文レビュー] Deciding Word Problems of Semigroups using Finite State Automata

Max Neunhöffer, Markus Pfeiffer+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 8, 2012

semigroups and automata theory参考文献 18被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、有限状態オートマトンを用いて決定可能である有理語問題を備えた半群、すなわちrwp-半群を導入する。これにより、定数メモリ、二次時間のアルゴリズムによる語問題の決定が可能になる。主な貢献は、rwp-半群が有限生成部分半群、直積、および有限イデアルによる拡張に関して閉じていることの証明であり、また、有限性、群性、モノイド性、自由性といった性質の決定可能性も示している。

ABSTRACT

We explore a natural class of semigroups that have word problem decidable by finite state automata. Among the main results are invariance of this property under change of generators, invariance under basic algebraic constructions and algebraic properties of these semigroups.

研究の動機と目的

• 語問題が有限状態オートマトンを用いて決定可能な半群のクラス、すなわちrwp-半群を定義し、特徴づけること。
• rwp-半群が直積、部分半群、零元や単位元の付加といった一般的な半群構成に関して閉じていることを確立すること。
• rwp-半群内での有限性、群性、モノイド構造、自由性といった構造的性質の決定可能性を証明すること。
• rwp-半群と語的双曲的半群との関係を調査し、すべてのrwp-半群が語的双曲的であることを示すこと。
• 未解決問題、特にrwp-半群の同型問題を調査し、rwp-半群と有理モノイドとの比較を行うこと。

提案手法

• 半群の語問題を、そのアルファベットによって生成される自由モノイド上の有理関係として定義する。
• 有限状態オートマトンを用いて、語問題を定義する有理関係を認識させ、定数メモリ、二次時間の決定手続きを可能にする。
• 有理関係および認識可能な言語の閉包性を応用して、rwp-半群が部分半群、直積、有限イデアルによる拡張に関して閉じていることを証明する。
• 有理関係が交差およびモルフィズムによる逆像に関して閉じていることを利用し、語問題を符号化するコンテキストフリーランゲージを構成する。
• 言語 $ M = \{u\#_1 v\#_2 w^{\mathrm{rev}} \mid (u\pi)(v\pi) = w\pi\} $ の構成を用いて、rwp-半群の語的双曲的性を示す。
• 語問題の有理関係から語的双曲的構造を有効に構成することで、決定問題（自由性、群性など）を既知の語的双曲的半群における決定可能問題に還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限生成集合上で定義された有理関係に基づく語問題が、効率的に決定可能かどうか。
• RQ2 どの半群構成が有理語問題性を保つのか。rwp-半群はこれらの操作に関して閉じているか。
• RQ3 rwp-半群が有限、群、モノイド、または自由であるかどうかを決定可能か。
• RQ4 rwp-半群はサコルビッチが定義した有理モノイドと一致するか。
• RQ5 rwp-半群の同型問題は決定不能であり、もしそうならば、既知の不決定性結果に還元可能か。

主な発見

• rwp-半群の語問題は、有限状態オートマトンを用いて定数メモリ、二次時間で決定可能である。
• rwp-半群は、有限生成部分半群、直積、零元や単位元の付加、および有限イデアルによる拡張に関して閉じている。
• すべてのrwp-半群は語的双曲的である。これは、関連する言語 $ M $ がコンテキストフリーであり、有理語問題から構成可能であるためである。
• rwp-半群が有限、群、モノイド、または自由であるかどうかは決定可能であり、群性は有限性のテストと網羅的検証を用いて決定可能である。
• rwp-半群の同型問題は未解決のままだが、不決定性の強い候補である。
• rwp-半群のグリーン関係は有理関係の交差であり、半群論における有理性とのより深い構造的関係を示唆している。