[論文レビュー] Inversion Complexity of Functions of Multi-Valued Logic

V. V. Kochergin, A. V. Mikhailovich|arXiv (Cornell University)|Oct 20, 2015

Formal Methods in Verification参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、A.A. マルコフの古典的結果である反転複雑度をブール論理関数からk値論理関数へ拡張する。任意のk値論理関数を計算するために必要な非単調ゲートの最小数は、それぞれポスト否定またはルカシエヴィチ否定を用いる場合、⌈log₂(d(f)+1)⌉および⌈logₖ₋₁(d(f)+1)⌉であることが示された。ここでd(f)は、増加する変数の系列における値の減少回数の最大値を測る。

ABSTRACT

The minimum number of NOT gates in a logic circuit computing a Boolean function is called the inversion complexity of the function. In 1957, A. A. Markov determined the inversion complexity of every Boolean function and proved that $\lceil\log_{2}(d(f)+1) ceil$ NOT gates are necessary and sufficient to compute any Boolean function $f$ (where $d(f)$ is the maximum number of value changes from greater to smaller over all increasing chains of tuples of variables values). This result is extended to $k$-valued functions computing in this paper. Thereupon one can use monotone functions "for free" like in the Boolean case. It is shown that the minimum sufficient number of non-monotone gates for the realization of the arbitrary $k$-valued logic function $f$ is equal to $\lceil\log_{2}(d(f)+1) ceil$ if Post negation (function $x+1 \pmod{k}$) is used in NOT nodes and is also equal to $\lceil\log_{k}(d(f)+1) ceil$, if Łukasiewicz negation (function $k-1-x$) is used in NOT nodes. Similar extension for another classical result of A. A. Markov for the inversion complexity of a system of Boolean functions to $k$-valued logic functions has been obtained.

研究の動機と目的

• 1957年のA.A. マルコフの反転複雑度に関する結果をブール論理関数からk値論理関数へ一般化すること。
• 単調関数を「無料」の構成要素として用いることにより、k値論理関数の反転複雑度を定義し分析すること。
• ポストおよびルカシエヴィチの2つの標準的な否定演算子を用いた、任意のk値論理関数を実現するために必要な非単調ゲートの正確な数を特定すること。
• 古典的なマルコフのシステム反転複雑度の結果をk値論理の文脈へ拡張すること。
• 特定の基底上でのk値論理における反転複雑度のシャノン関数の明示的公式を導出すること。

提案手法

• k値論理関数および順序付き集合{0, 1, ..., k−1}上の単調関数を定義する。
• 入力タプルの「増加チェーン」の概念を導入し、関数系Fの「減少度d(F)」を、このようなチェーン上での値の減少回数の最大値として定義する。
• 2つの標準基底を用いる：B_P（ポスト否定x+1 mod kを含む）およびB_L（ルカシエヴィチ否定k−1−xを含む）。
• 回路複雑度に関する帰納法を用いて、不等式d(F) ≤ (d(B)+1)^{I_B(F)} − 1を用いて反転複雑度の下界を確立する。
• sコネクタおよび単調関数を用いた再帰的回路変換を構築し、チェーンの各セグメントにおける関数の振る舞いをシミュレートする。
• 関数の減少度d(F)の構造を用いて、対応する対数的複雑度を達成する回路を構築することで、境界のタイトネスを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のk値論理関数を計算するために必要な非単調ゲートの最小数は何か？
• RQ2 ポスト否定とルカシエヴィチ否定の選択が、k値論理における反転複雑度に与える影響は何か？
• RQ3 ブール関数におけるマルコフの古典的反転複雑度結果は、k値論理関数のシステムへ拡張可能か？
• RQ4 基底B_PおよびB_L上でのk値論理における反転複雑度のシャノン関数の正確な値は何か？
• RQ5 関数が増加チェーン上で示す最大減少度d(f)は、非単調基底におけるその回路複雑度とどのように関係するか？

主な発見

• ポスト否定基底B_P上での任意のk値論理関数fの反転複雑度は、正確に⌈log₂(d(f)+1)⌉である。
• ルカシエヴィチ否定基底B_L上での任意のk値論理関数fの反転複雑度は、正確に⌈logₖ₋₁(d(f)+1)⌉である。
• k値論理関数のシステムにおいて、B_P上での反転複雑度は⌈log₂(d(F)+1)⌉、B_L上では⌈logₖ₋₁(d(F)+1)⌉である。
• 基底B_P上でのn変数k値論理関数の反転複雑度のシャノン関数は⌈log₂T(k,n)⌉であり、ここでT(k,n) = (k−2)n + ⌈n/k⌉ + 1である。
• 基底B_P上でのn変数m関数の反転複雑度のシャノン関数は⌈log₂((k−1)n + 1)⌉、B_L上では⌈logₖ₋₁((k−1)n + 1)⌉である。
• これらの境界はタイトであり、sコネクタおよび単調関数を用いた再帰的回路構築によって達成される。