[論文レビュー] Invertibility of adjacency matrices for random $d$-regular graphs

Jiaoyang Huang|arXiv (Cornell University)|Jul 16, 2018

Random Matrices and Applications参考文献 26被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、固定された $ d \geq 3 $ に対して、$ n $ 頂点のランダムな $ d $-正則有向または無向グラフの隣接行列が、高確率で正則であることを、有限体 $ \mathbb{F}_p $ における特異性の分析によって確立している。主な革新は、一様分布するベクトルに対して局所中心極限定理を、非一様分布するベクトルに対して大偏差推定を組み合わせることで、特異確率を多項式的に小さく抑えることである。その結果、ある $ \mathfrak{d} > 0 $ に対して特異確率が $ n^{-\mathfrak{d}} $ 以下となる。これは、Frieze と Vu が提起した未解決問題を解決するものである。

ABSTRACT

Let $d\geq 3$ be a fixed integer and $A$ be the adjacency matrix of a random $d$-regular directed or undirected graph on $n$ vertices. We show there exist constants $\mathfrak d>0$, \begin{align*} {\mathbb P}( ext{$A$ is singular in $\mathbb R$})\leq n^{-\mathfrak{d}}, \end{align*} for $n$ sufficiently large. This answers an open problem by Frieze [12] and Vu [28,19]. The key idea is to study the singularity probability of adjacency matrices over a finite field ${\mathbb F}_p$. The proof combines a local central limit theorem and a large deviation estimate.

研究の動機と目的

• Frieze と Vu が提起した、固定された $ d \geq 3 $ に対してランダムな $ d $-正則グラフの隣接行列の特異性に関する未解決問題を解決すること。
• $ d $-正則グラフの隣接行列の要素間に依存関係があるという課題を克服すること。これは、従来の特異性解析を複雑にする要因である。
• 特異確率が $ n $ に対して多項式的に減少する定量的バインドを確立すること。指数的減少やべき則的減少よりも優れている。
• null ベクトルの算術的構造をよりよく制御できるように、$ \mathbb{F}_p $ における特異性の新しい研究法を導入すること。
• 有限体技術とベクトル分解を活用して、$ \mathbb{R} $ 上での隣接行列の特異確率を鋭く推定すること。

提案手法

• $ \mathbb{F}_p $ 上の零ベクトル空間を、各剰余類への分布が一様であるか非一様であるかに基づき、一様分布クラスと非一様分布クラスに分解する。
• 一様分布するベクトルに対しては、局所中心極限定理を適用して、そのような零ベクトルを許容する隣接行列の数を推定する。
• 非一様分布するベクトルに対しては、大偏差推定を用いて、そのような零ベクトルを持つ行列の数を上界で抑える。
• $ \mathbb{F}_p^d $ 内のウォークパスとマルチセット構成を数える分析を行い、多項式係数と階乗の上界を用いて成長を制御する。
• ランダムな $ d $-正則グラフのための構成モデルを用い、各行列クラスの寄与を制御する組合せ的推定を適用する。
• 最終的な特異確率のバインドは、すべてのベクトルクラスからの推定値を組み合わせ、$ p $-進構造における和集合の上界を用いて導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定された $ d \geq 3 $ に対して、ランダムな $ d $-正則有向または無向グラフの隣接行列が特異である確率の漸近的確率は何か？
• RQ2 要素間に独立性がないため、$ d $-正則グラフの特異性問題は、従来の手法では効果的に分析可能か？
• RQ3 有限体 $ \mathbb{F}_p $ における特異性の分析は、直接 $ \mathbb{R} $ 上で行う分析よりも鋭いバインドをもたらすか？
• RQ4 null ベクトルの算術的構造を活用することで、$ d $-正則設定における定量的特異性推定が可能か？
• RQ5 $ d $-正則隣接行列の特異確率に対して、多項式的に減少する上界が存在するか？

主な発見

• 十分に大きな $ n $ をとると、$ n $ 頂点のランダムな $ d $-正則有向または無向グラフの隣接行列は、ある $ \mathfrak{d} > 0 $ に対して特異確率が $ n^{-\mathfrak{d}} $ 以下である。
• 特異確率は $ n $ に対して多項式的に減少し、以前の指数的またはべき則的減少のバインドを上回る。
• この手法は、$ d $-正則グラフの依存構造を、有限体 $ \mathbb{F}_p $ における解析によって効果的に扱うことに成功している。
• 一様分布クラスと非一様分布クラスの零ベクトルは、それぞれ局所中心極限定理と大偏差推定を用いて別々に取り扱われている。
• すべてのベクトルクラスからの寄与総和は $ \operatorname{O}(1) \cdot p^{2d}/n^{d-2} $ で抑えられ、$ p \ll n^{(d-2)/(5d-6)} $ の条件下では $ o(1)/n^{d-2} $ となる。これにより最終的なバインドが得られる。
• この結果は、確率的行列理論および確率的グラフ理論における長年の未解決問題を解決し、$ d $-正則隣接行列が高確率で漸近的に正則であることを確認する。