[論文レビュー] Investigations on c-(almost) perfect nonlinear functions

Constanza Riera, Pantelimon Stănică|arXiv (Cornell University)|Mar 31, 2020

Coding theory and cryptography参考文献 30被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、新しい乗法的微分概念に基づき、$p$-元およびブール関数の$c$-微分均一性を調査する。特に、既知のほぼ完全非線形（APN）関数に注目し、特定の$c$に対して$c$-微分均一性が顕著に低下することを示している。これにより、$c \neq 1$、特に$c = -1$のとき、一部の関数が完全$c$-非線形（PcN）またはほぼ完全$c$-非線形（APcN）であることが明らかになった。

ABSTRACT

In a prior paper [14], along with P. Ellingsen, P. Felke and A. Tkachenko, we defined a new (output) multiplicative differential, and the corresponding c-differential uniformity, which has the potential of extending differential cryptanalysis. Here, we continue the work, by looking at some APN functions through the mentioned concept and show that their c-differential uniformity increases significantly, in some cases.

研究の動機と目的

• 新しく定義された乗法的微分を用いて、既知のAPN関数の$c$-微分均一性を分析すること。
• 標準的微分均一性と比較して、$c$-微分均一性が顕著に低下する条件を同定すること。
• 特に奇数特異性を持つ有限体において、$c = -1$のときの$c$-完全非線形（PcN）および$c$-ほぼ完全非線形（APcN）関数を特定すること。
• 微分暗号解読の適用範囲を拡張するため、$c$-微分を用いた乗法的シフトを含む微分概念の一般化を図ること。
• 標準的定義を超えて、PNまたはAPN関数の新規クラスを同定するための$c$-微分の可能性を検討すること。

提案手法

• 関数$F$の$c$-微分を${}_{c}D_{a}F(x) = F(x+a) - cF(x)$として定義し、標準的微分を一般化する。
• $c$-微分均一性を${}_{c}\Delta_{F} = \max\{ {}_{c}\Delta_{F}(a,b) \}$として定義し、ここで${}_{c}\Delta_{F}(a,b)$は$F(x+a) - cF(x) = b$を満たす解の個数を表す。
• 特に$p=3$および$n$次元体において、$c$-微分特性を分析するためにディクソン多項式とその逆像の個数を用いる。
• 指数のGCDやトレース関数などの数論的道具を用い、$c$-微分の置換性質を同定する。
• 文献[9]の定理9を用いて、さまざまな$c$および$n$におけるディクソン多項式の逆像サイズを計算する。
• 体$\mathbb{F}_{3^n}$上での関数$G(x) = x^{(3^n+3)/2}$を分析し、$c=-1$かつ奇数$n$のときPcNであることを示し、偶数$n$のときAPcNであることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $c$および$n$がどのような値のとき、$\mathbb{F}_{p^n}$上でのゴールド関数$x^{(p^k+1)/2}$は完全$c$-非線形となるか？
• RQ2 既知のAPN関数の$c$-微分均一性は、$c \neq 1$、特に$c = -1$のとき顕著に低下するか？
• RQ3 $\mathbb{F}_{3^n}$上での関数$G(x) = x^{(3^n+3)/2}$は、$c = -1$のとき$c$-完全非線形または$c$-ほぼ完全非線形と分類できるか？
• RQ4 $c$-微分均一性と$p$-元関数の代数的次数やトレース構造との関係は何か？
• RQ5 $p$-元関数の$c$-微分均一性は、標準的微分均一性と比較して、特に奇数特異性を持つ体でどのように異なるか？

主な発見

• 体$\mathbb{F}_{3^n}$上での関数$x^{(3^n+3)/2}$は、$c = -1$であるとき、かつそのときに限り、$n$が奇数であれば完全$c$-非線形（PcN）である。
• $n$が偶数のとき、同じ関数は$c = -1$に対してほぼ完全$c$-非線形（APcN）であり、$c$-微分均一性が$\ell = 2$である。
• $c = 1$のとき、$G(x) = x^{(3^n+3)/2}$の$c$-微分均一性は、$n$が偶数のとき1、$n$が奇数のとき4であり、$c = -1$の場合と顕著な対照を示す。
• ゴールド関数$x^{(p^k+1)/2}$は、$c = -1$に対して、$\frac{2n}{\gcd(2n,k)}$が奇数であるときかつそのときに限りPcNである。
• $G(x)$の$c$-微分均一性は、ディクソン多項式の逆像サイズの分析により特定され、$n$が偶数のとき$m = \gcd(\frac{3^n+3}{2}, 3^n - 1) = 2$および$\bar{\ell} = \gcd(\frac{3^n+3}{2}, 3^n + 1) = 2$となる。
• $c = -1$かつ奇数$n$のとき、関連するディクソン多項式$h_{-1}(z)$が置換多項式であることが確認され、指数と体のサイズに関するGCD条件により、関数$G(x)$はPcNである。