[論文レビュー] Inviscid Large deviation principle and the 2D Navier Stokes equations with a free boundary condition

Hakima Bessaih, Annie Millet|arXiv (Cornell University)|Nov 19, 2010

Stochastic processes and financial applications参考文献 22被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、粘性 ν → 0 の極限において、2次元確率的ナビエ＝ストークス方程式に自由境界条件を課した場合に、ノイズ強度が √ν に比例するスケーリングの下で、大偏差原理（LDP）を確立する。弱収束アプローチとソボレフ空間およびルベーグ空間におけるtightnessの議論を用いて、境界層の形成や特異極限に起因する技術的困難を克服し、可縮性と乗法的ノイズを有する流体力学的モデルへのフレイドリン＝ウェントツェル理論の拡張を達成する。

ABSTRACT

Using a weak convergence approach, we prove a LPD for the solution of 2D stochastic Navier Stokes equations when the viscosity converges to 0 and the noise intensity is multiplied by the square root of the viscosity. Unlike previous results on LDP for hydrodynamical models, the weak convergence is proven by tightness properties of the distribution of the solution in appropriate functional spaces.

研究の動機と目的

• 有界領域における自由境界条件を伴う2次元確率的ナビエ＝ストークス方程式について、粘性 ν → 0 の極限において大偏差原理（LDP）を確立すること。
• ノイズ強度が √ν に比例するフレイドリン＝ウェントツェルスケーリングの下で、確率的流体力学における可縮性極限を分析すること。
• 境界層の形成や特異極限に起因する技術的困難を克服し、可縮性を有するモデルに対し、LDP における弱収束アプローチを拡張すること。
• 解の分布が適切なソボレフ空間およびルベーグ空間でtightであることを証明し、ラプラス原理の収束を保証すること。
• 以前の結果を一般化し、粘性に依存するノイズ作用素を組み込み、関連する不変測度が極限において収束することを証明すること。

提案手法

• DupuisおよびEllisが開発したラプラス原理に基づく、大偏差における弱収束アプローチを適用する。
• ノイズ強度の粘性依存性を記述するため、$ G_ u = u^{1/2} ilde{ u} $ というスケーリングを用い、$ ilde{ u} o ilde{0} $ が $ u o 0 $ のとき成り立つようにする。
• 解およびそのモーメントに対するa priori推定を導出するため、$ L^q $ および $ H^{k,q} $ 空間における伊藤の公式を用いる。
• $ L^q $-値過程に対する伊藤の公式における確率積分項を制御するため、バーグシュタイン＝デイヴィス＝ギュンディーの不等式を用いる。
• 関数空間上の確率測度族の弱収束部分列を抽出するために、スコロホド＝ヤクブォフスキイ表現定理を用いる。
• 係数が $ U(D,q) $ や $ U(D,ty) $ クラスに属する場合に導かれるネミツキー作用素が、SPDEの適切な定義に必要な正則性および有界性条件（C1–C3qBis）を満たすことを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自由境界条件を有する2次元確率的ナビエ＝ストークス方程式について、可縮性極限において大偏差原理が成立するか？
• RQ2 粘性係数とノイズ強度が両方とも消える状況において、ノイズが √ν に比例するスケーリングの下で、LDP における弱収束アプローチを流体力学的モデルに拡張できるか？
• RQ3 解の分布が大偏差原理を満たすために必要な十分条件として、ノイズ作用素 $ G_ u $ および初期データにどのような条件が必要か？
• RQ4 境界上で法線および接線速度がゼロである自由境界条件の存在が、ソボレフ空間およびルベーグ空間における解のtightnessおよび収束に与える影響は何か？
• RQ5 境界層の形成が生じるにもかかわらず、有界領域における確率的ナビエ＝ストークス方程式の可縮性極限において、LDP を確立できるか？

主な発見

• 自由境界条件を有する2次元確率的ナビエ＝ストークス方程式について、ノイズ強度が √ν に比例するスケーリングの下で、粘性 ν → 0 の極限において大偏差原理が確立された。
• ラプラス原理の収束を保証するため、解の族が $ L^2(0,T;H^{1,2}) \times L^\rho(0,T;L^q) $ においてtightであることが確認され、適切な $ \rho, q $ に対して成立する。
• 可縮性と乗法的ノイズを有するモデルに対し、弱収束アプローチが成功裏に適用され、固定された正の粘性を要件としていた以前の結果を拡張した。
• $ U(D,ty) $-クラス係数から導かれるネミツキー作用素が、必要な正則性および有界性条件（C1–C3qBis）を満たし、SPDEの適切な定義を保証した。
• スコロホド＝ヤクブォフスキイ表現定理を用いて、パスの位相空間においてほとんど確実に収束する確率測度の部分列を抽出し、ラプラス原理の証明を可能にした。
• 本結果により、小さな粘性領域における解の分布が可縮（オイラー）解の周りに指数的に集中することを厳密に記述するフレームワークが提供された。