[論文レビュー] Involutions of Higgs bundle moduli spaces

Oscar Garcı́a-Prada, S. Ramanan|arXiv (Cornell University)|May 17, 2016

Advanced Algebra and Geometry被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、コンpaktoなリーマン面上の $G$-ヒッグス束のモジュライ空間における有限位数自己同型を研究しており、$H^1(X,Z) \times \mathrm{Out}(G)$ からの作用と、ユニタリ根によるヒッグス場のスケーリングを組み合わせることで構成される。固定点部分多様体は、+1固有値の場合ハイパーカイリィアン部分多様体、-1固有値の場合ラグランジュ部分多様体として特定され、それぞれ再帰的部分群や $G$ の実形式に対応する。$\mathrm{SL}(n,\mathbb{C})$ および $\mathrm{Spin}(8,\mathbb{C})$ に対して、三重性（trianguality）を用いた明示的記述がなされる。

ABSTRACT

We consider the moduli space $\mathcal{M}(G)$ of $G$-Higgs bundles over a compact Riemann surface $X$, where $G$ is a complex semisimple Lie group. This is a hyperkahler manifold homeomorphic to the moduli space $\mathcal{R}(G)$ of representations of the fundamental group of $X$ in $G$. In this paper we study finite order automorphisms of $\mathcal{M}(G)$ obtained by combining the action of an element of order $n$ in $H^1(X,Z) times \mbox{Out}(G)$, where $Z$ is the centre of $G$ and $\mbox{Out}(G)$ is the group of outer automorphisms of $G$, with the multiplication of the Higgs field by an $n$th-root of unity, and describe the subvarieties of fixed points. We give special attention to the case of involutions, defined by the action of an element of order $2$ in $H^1(X,Z) times\mbox{Out}(G)$ combined with the multiplication of the Higgs field by $\pm 1$. In this situation, the subvarieties of fixed points are hyperkahler submanifolds of $\mathcal{M}(G)$ in the (+1)-case, corresponding to the moduli space of representations of the fundamental group in certain reductive complex subgroups of $G$ defined by holomorphic involutions of $G$; while in the (-1)-case they are Lagrangian subvarieties corresponding to the moduli space of representations of the fundamental group of $X$ in real forms of $G$ and certain extensions of these. We illustrate the general theory with the description of involutions for $G=\mbox{SL}(n,\mathbb{C})$ and involutions and order three automorphism defined by triality for $G=\mbox{Spin}(8,\mathbb{C})$.

研究の動機と目的

• コンパクトなリーマン面 $X$ 上の $G$-ヒッグス束のモジュライ空間 $\mathcal{M}(G)$ における有限位数自己同型の構造を理解すること。
• 外的自己同型とヒッグス場のユニタリ根によるスケーリングの組み合わせから生じる固定点部分多様体を分析すること。
• 固有値 (+1 または -1) に応じて、これらの固定点部分多様体をハイパーカイリィアン部分多様体またはラグランジュ部分多様体として分類すること。
• $G = \mathrm{SL}(n,\mathbb{C})$ および $G = \mathrm{Spin}(8,\mathbb{C})$ に対して、三重性を用いて対応する対合の明示的記述を提供すること。

提案手法

• $G$ の中心を表す $Z$ を用いて、$H^1(X,Z) \times \mathrm{Out}(G)$ の位数 $n$ の元を用いて $\mathcal{M}(G)$ の自己同型を構成する。
• 自己同型を、ヒッグス場に $n$ 乗根のユニタリ根をスケーリングすることで適用する。
• ハイパーカイリィアン構造を有する $\mathcal{M}(G)$ の文脈において、これらの自己同型の固定点部分多様体を分析する。
• $+1$ 固有値の固定点部分多様体を、$G$ の正則的対合によって定義される再帰的部分群への $\pi_1(X)$ の表現のモジュライ空間に対応するハイパーカイリィアン部分多様体として特定する。
• $-1$ 固有値の固定点部分多様体を、$G$ の実形式およびそれらの拡張への $\pi_1(X)$ の表現のモジュライ空間に対応するラグランジュ部分多様体として特定する。
• 一般枠組みを明示的計算により図示する。$G = \mathrm{SL}(n,\mathbb{C})$ および $G = \mathrm{Spin}(8,\mathbb{C})$ に対して、三重性が位数3自己同型の場合に果たす役割を含む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限位数自己同型 $\mathcal{M}(G)$ における固定点部分多様体の構造は、$H^1(X,Z) \times \mathrm{Out}(G)$ およびヒッグス場のユニタリ根によるスケーリングから生じるか？
• RQ2 $+1$ および $-1$ 固有値の場合における固定点部分多様体の幾何学的および表現論的性質の違いは何か？
• RQ3 $+1$ 固有値の場合に、どの再帰的部分群が表現のモジュライ空間の像として現れるか？
• RQ4 $-1$ 固有値の場合に、ラグランジュ固定点部分多様体に対応する $G$ の実形式およびそれらの拡張は何か？
• RQ5 $\mathcal{M}(\mathrm{Spin}(8,\mathbb{C}))$ の自己同型構造において、三重性はどのように現れるか？

主な発見

• $+1$ 固有値の自己同型の固定点部分多様体は、$\mathcal{M}(G)$ のハイパーカイリィアン部分多様体であり、$G$ の正則的対合によって定義される再帰的部分群への $\pi_1(X)$ の表現のモジュライ空間に対応する。
• $-1$ 固有値の自己同型の固定点部分多様体は、$\mathcal{M}(G)$ のラグランジュ部分多様体であり、$G$ の実形式およびそれらの拡張への $\pi_1(X)$ の表現のモジュライ空間に対応する。
• $G = \mathrm{SL}(n,\mathbb{C})$ の場合、対合は明示的に記述され、外的自己同型およびヒッグス場の符号反転によって定義される対称的部分群からの固定点部分多様体が生じる。
• $G = \mathrm{Spin}(8,\mathbb{C})$ の場合、位数3の自己同型は三重性を用いて構成され、モジュライ空間に非自明な作用をもたらし、固定点部分多様体は三重性の対称性を反映する。
• $\mathcal{M}(G)$ のハイパーカイリィアン構造は $+1$ 固有値の場合に保存されるが、$-1$ 固有値の場合には表現空間の実構造によりラグランジュ部分多様体が得られる。
• 一般的構成は、$G$ の部分群構造および実形式への自己同型の関係を一様に関連付けるフレームワークを提供し、幾何学的および位相的分類を明示的に行う。