[論文レビュー] Involutions of the moduli spaces of $G$-Higgs bundles over elliptic curves

Indranil Biswas, Luis Ángel Calvo Pascual+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 26, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 29被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、複素再帰的群 $G$ に関する楕円曲面上の $G$-Higgs束のモジュライ空間上での正則的および反正則的対合を体系的に分類する。これらの対合の固定点集合を記述し、非アーベルHodge対応を用いて、基本群の表現へと関連づけることにより、擬実 $G$-Higgs束のモジュライ空間を明示的な幾何的特徴づけを行う。

ABSTRACT

We present a systematic study of involutions on the moduli space of $G$-Higgs bundles over an elliptic curve $X$, where $G$ is complex reductive affine algebraic group. The fixed point loci in the moduli space of $G$-Higgs bundles on $X$, and in the moduli space of representations of the fundamental group of $X$ into $G$, are described. This leads to an explicit description of the moduli spaces of pseudo-real $G$-Higgs bundles over $X$.

研究の動機と目的

• 楕円曲線 $X$ 上の $G$-Higgs束のモジュライ空間 $\mathcal{M}(G)$ 上の正則的および反正則的対合を分類すること。
• これらの対合の固定点集合を、Higgs束モジュライ空間および表現モジュライ空間の両方で記述すること。
• 非アーベルHodge対応を用いて、擬実 $G$-Higgs束のモジュライ空間を明示的な幾何的記述で与えること。
• 定理1.1のホメオモルフィズムを介して、$\mathcal{M}(G)$ 上の対合と表現空間 $\mathcal{R}(G)$ 上の対合との関係を特定すること。

提案手法

• 非アーベルHodge対応を用いて $G$-Higgs束と $\pi_1(X)$ の表現とを関連づけ、$\mathcal{M}(G)$ と $\mathcal{R}(G)$ 間での対合構造の移行を可能にする。
• 群 $G$ 上の正則的および反正則的対合 $\sigma_\epsilon$ と、曲線 $X$ 上の対合 $\alpha_\epsilon$ を分析し、$\sigma_\epsilon$ を用いた引き戻しとねじれにより、$\mathcal{M}(G)$ 上に誘導された対合 $I(\alpha_\epsilon, \sigma_\epsilon, \pm)$ を定義する。
• Weyl群の作用と $Z^\sigma_-$ 内の位数2の中心的元を用いて、コホモロジー的データ $H^1_{\omega_z}(\sigma_-, W)$ を用いて固定点集合の成分を分類する。
• 忘却準同型を用いて、擬実 $G$-Higgs束のモジュライ空間が $T^*\widehat{X} \otimes_\mathbb{Z} \Lambda_T$ 内の固定成分の和集合へ双対的に写像されることを示す。
• $\mathcal{M}(G)_{\text{sm}}$ 上のハイパーカイリィング構造を応用し、複素構造とブレーンを解釈し、鏡像対称性における $A$-および $B$-ブレーンと関連付ける。
• Lie代数内のアラコーブおよびWeylチャネルの構造を用いて、中心的元 $z \in Z_2^{\sigma_-}$ に対応するWeyl群の元 $\omega_z$ を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 群 $G$ および曲線 $X$ 上の正則的および反正則的対合が、$G$-Higgs束のモジュライ空間 $\mathcal{M}(G)$ 上にどのように対合を誘導するか？
• RQ2 このような対合の固定点集合の幾何的構造は、$\mathcal{M}(G)$ および $\mathcal{R}(G)$ においてどのように特徴づけられるか？
• RQ3 群論的およびコホモロジー的データを用いて、擬実 $G$-Higgs束のモジュライ空間をどのように明示的に記述できるか？
• RQ4 Weyl群および位数2の中心的元が、固定点集合の成分を分類する上で果たす役割は何か？
• RQ5 非アーベルHodge対応により、$\mathcal{M}(G)$ 上の対合と $\mathcal{R}(G)$ 上の対合との関係はどのように特定されるか？

主な発見

• 対合 $I(\alpha_\epsilon, \sigma_\epsilon, \pm)$ の固定点集合は、Weyl群のねじれコホモロジー $H^1_{\omega_z}(\sigma_-, W)$ でインデックスづけられた成分の和集合として記述される。
• 中心的元 $z \in Z_2^{\sigma_-}$ に対応する擬実 $G$-Higgs束のモジュライ空間は、$$\widetilde{\mathcal{M}}(G, t_y \circ \alpha_{(-,a)}, \sigma_-, \pm, z) = \bigcup_{\overline{\omega} \in H^1_{\omega_z}(\sigma_-, W)} \left( T^*\widehat{X} \otimes_\mathbb{Z} \Lambda_T \right)^{\omega(\dot{I}(\alpha_{(-,a)}, \sigma_-, \pm))} / N_W(T^{\omega\sigma_-})$$ で与えられる。
• 擬実 $G$-Higgs束のモジュライ空間から $\widetilde{\mathcal{M}}(G, \dots)$ への忘却準同型は双対的であるため、同型類と固定点集合内の成分との間に一対一対応があることが示される。
• $z = \mathrm{Id}_G$ の場合、実 $G$-Higgs束のモジュライ空間は $H^1(\sigma_-, W)$ で分類される成分の和集合に一致し、古典的ケースが回復される。
• 表現空間 $\mathcal{R}(G)$ 上に対応する対合 $J(\alpha_\epsilon, \sigma_\epsilon, \pm)$ は、$$\left( \mathrm{Hom}(\pi_1(X), \mathbb{C}^*) \otimes_\mathbb{Z} \Lambda_T \right)^{\omega(\dot{J}(\alpha_{(-,a)}, \sigma_-, \pm))} / N_W(T^{\omega\sigma_-})$$ として明示的に記述される。
• 固定点集合の構造が、成分が最大でない場合、商 $\dot{B}/W$ の特異点集合に含まれることを示し、$B^\tau_\omega \subset \mathrm{Sing}(B)$ が確認される。