[論文レビュー] Involutions on pro-$p$-Iwahori Hecke algebras

Noriyuki Abe|arXiv (Cornell University)|Apr 3, 2017

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、正標数の体上におけるpro-$p$-Iwahori Hecke代数の単純加群に対して、2つの主要な代数的対合——$ζ$（反対合）および$ι$（対合）——の作用を計算する。単純加群$π$に対して、ねじれた加群$π^{ frac{1}{2}}$と双対加群$π^{*}$を、3段階の分類（放物的誘導、一般化されたSteinberg加群、超正則加群）を用いて特定する。最も困難なケースは、詳細なブレード関係および二次関係の分析により解決される。主な結果は、双対パラメータおよび対称放物的部分群を用いて、双対加群およびねじれた加群の明示的同型類を分類するものである。

ABSTRACT

The pro-$p$-Iwahori Hecke algebra has an involution $ι$ defined in terms of Iwahori-Matsumoto basis. Then for a module $π$ of pro-$p$-Iwahori Hecke, $π^ι= π\circ ι$ is also a module. We calculate $π^ι$ for simple modules $π$. We also calculate the dual of $π$.

研究の動機と目的

• 体の標数が$p$であるpro-$p$-Iwahori Hecke代数の単純加群における対合$ι$の作用を計算すること。
• 同じ設定において、単純加群$π$の双対加群$π^{*}$を特定すること。
• $G$の表現論を、$ι$および$ζ$の下での加群構造を分析することによって、正標数の体上に拡張すること。
• 表現論の広範なプログラムの一環として、単純加群間の拡張を計算するための基礎的データを提供すること。

提案手法

• Iwahori-Matsumoto基底$π = \{T_w\}_{w\in W(1)}$を用い、$T_w \mapsto (-1)^{\ell(w)}T_w^{*}$により対合$ι$を定義する。ここで$T_w^{*}$は双対基底である。
• 反対合$ζ$を$T_w \mapsto T_{w^{-1}}$により定義し、双対加群$\pi^{*} = \mathrm{Hom}_C(\pi, C)$を$(fX)(v) = f(v\zeta(X))$の作用で定義する。
• 単純加群を3段階で分類する：放物的誘導、一般化されたSteinberg加群（最も複雑）、超正則加群。これには、pro-$p$ Weyl群$W(1)$および反射データの構造を用いる。
• Hecke代数におけるブレード関係および二次関係を用いて、特に一般化されたSteinberg加群に対して、負の代数および拡張函手の整合性を詳細に分析することで、加群のねじれを計算する。
• Weyl群元（例：$n_{w_G w_P}$）の随伴作用を用い、対称放物的部分群上の加群を関連づけ、ねじれた加群と双対加群の間の同型を確立する。
• 引き戻し構成および拡張函手$j_{Q}^{P-*}$の整合性を用い、$\pi^{*}$を双対パラメータを用いた対称放物的部分群上の加群に関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 基底体の標数が$p$であるpro-$p$-Iwahori Hecke代数の単純加群に対して、対合$\iota$の作用はどのように働くか？
• RQ2 pro-$p$-Iwahori Hecke代数上の単純加群$\pi$に対して、双対加群$\pi^{*}$の構造は何か？
• RQ3 一般化されたSteinberg加群における$\iota$の作用は、放物的誘導および超正則加群におけるものとどのように比較できるか？
• RQ4 単純加群の双対は、双対パラメータを用いた対称放物的部分群上の加群として表現可能か？
• RQ5 対合および双対性の下で、$I(P;\chi,J,V;Q)^{*}$と$I(P';\chi',J',V';Q')$の関係は何か？

主な発見

• 単純加群$\pi = I(P;\chi,J,V;Q)$に対して、ねじれた加群$\pi^{\iota}$は$ I(P;\chi^{-1},J,V^{*};Q)$に同型である。ここで$V^{*}$は双対表現であり、$\chi^{-1}$は逆文字である。
• 双対加群$\pi^{*}$は$ I(P';\chi',J',V';Q')$に同型である。ここで$P' = n_{w_G w_P} P^{\mathrm{op}} n_{w_G w_P}^{-1}$、$Q' = n_{w_G w_Q} Q^{\mathrm{op}} n_{w_G w_Q}^{-1}$であり、$(\chi',J',V')$は$ n_{w_G w_P}$による$(\chi^{-1},J,V^{*})$の引き戻しである。
• 一般化されたSteinberg加群における$\pi^{\iota}$の計算は、最も技術的で、負の代数および拡張函手の整合性の詳細な分析に依存する。
• 双対性の結果は、Weyl群元の随伴作用により確立され、$\mathrm{St}_Q^{P}(\sigma)^{*}$と$\mathrm{St}_{Q'}^{P'}(n_{w_G w_P} \sigma^{*})$の間の同型を誘導する。
• 同型$ I(P;\chi,J,V;Q)^{*} \simeq I(P';\chi',J',V';Q')$は、$n_{w_G w_P}$による共役の下で負の代数および拡張函手の整合性により成立する。
• 結果は、pro-$p$ Weyl群$W(1)$および$W$が$Z_\kappa$に作用する構造と整合しており、パラメータ変換が適切に定義され、加群構造を保存することが保証される。