[論文レビュー] Irreducible modules over Witt algebras $\mathcal{W}_n$ and over $\mathfrak{sl}_{n+1}(\mathbb{C})$

Haijun Tan, Kaiming Zhao|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2013

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 20被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、Weyl代数 $\mathcal{K}_n$ 上の加群にねじれ技法を適用することで、Witt代数 $\mathcal{W}_n$ 及びその部分代数 $\mathfrak{sl}_{n+1}(\mathbb{C})$ 上に新しい不可約加群のクラスを構成する。不可約性および同型の必要十分条件を提示し、一般化されたヴェルマ加群やホイトラー加群ではない、新しい無限次元の非重み加群を得る。これにより、これらのリー代数の不可約表現の分類が拡張される。

ABSTRACT

In this paper, by using the "twisting technique" we obtain a class of new modules $A_b$ over the Witt algebras $\mathcal{W}_n$ from modules $A$ over the Weyl algebras $\mathcal{K}_n$ (of Laurent polynomials) for any $b\in\mathbb{C}$. We give the necessary and sufficient conditions for $A_b$ to be irreducible, and determine the necessary and sufficient conditions for two such irreducible $\mathcal{W}_n$-modules to be isomorphic. Since $\sl_{n+1}(\mathbb{C})$ is a subalgebra of $\mathcal{W}_n$, all the above irreducible $\mathcal{W}_n$-modules $A_b$ can be considered as $\sl_{n+1}(\mathbb{C})$-modules. For a class of such $\sl_{n+1}(\mathbb{C})$-modules, denoted by $Ω_{1-a}(λ_1,λ_2,\cdots,λ_n)$ where $a\in\mathbb{C}, λ_1,λ_2,\cdots,λ_n \in \mathbb{C}^*$, we determine the necessary and sufficient conditions for these $\sl_{n+1}(\mathbb{C})$-modules to be irreducible. If the $\sl_{n+1}(\mathbb{C})$-module $Ω_{1-a}(λ_1,λ_2,\cdots,λ_n)$ is reducible, we prove that it has a unique nontrivial submodule $W_{1-a}(λ_1, λ_2,...λ_n)$ and the quotient module is the finite dimensional $\sl_{n+1}(\mathbb{C})$-module with highest weight $mΛ_n$ for some non-negative integer $m\in \Z_+$. The necessary and sufficient conditions for two $\mathfrak{sl}_{n+1}(\mathbb{C})$-modules $Ω_{1-a}(λ_1,λ_2,\cdots,λ_n)$ and $W_{1-a}(λ_1, λ_2,...λ_n)$ to be isomorphic are also determined. The irreducible $\mathfrak{sl}_{n+1}(\mathbb{C})$-modules $Ω_{1-a}(λ_1, λ_2,...λ_n)$ and $W_{1-a}(λ_1, λ_2,...λ_n)$ are new.

研究の動機と目的

• Weyl代数 $\mathcal{K}_n$ 上の加群にねじれ技法を適用することで、Witt代数 $\mathcal{W}_n$ 上に新しい不可約非重み加群を構成すること。
• これらの $\mathcal{W}_n$-加群 $A_b$ の不可約性の必要十分条件を特定すること。
• $\mathcal{W}_n$-加群を部分代数 $\mathfrak{sl}_{n+1}(\mathbb{C})$ に制限することで、新しい $\mathfrak{sl}_{n+1}(\mathbb{C})$-加群 $\Omega_{1-a}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$ を得ること。
• これらの $\mathfrak{sl}_{n+1}(\mathbb{C})$-加群の不可約性および同型型を分類し、可約の場合の唯一の非自明な部分加群も含めて特定すること。
• 構成された $\mathfrak{sl}_{n+1}(\mathbb{C})$-加群が、一般化されたヴェルマ加群やホイトラー加群と同型でないことを示し、それらの新規性を確立すること。

提案手法

• Weyl代数 $\mathcal{K}_n$ 上の不可約加群 $A$ にねじれ技法を適用し、任意の $b \in \mathbb{C}$ に対して新しい $\mathcal{W}_n$-加群 $A_b$ を構成する。
• $\mathcal{W}_n$ の生成子の作用および元の $\mathcal{K}_n$-加群の構造に依存する条件を用いて、$A_b$ の不可約性を決定する。
• $A_b$ を $\mathfrak{sl}_{n+1}(\mathbb{C})$ に制限することで、パrameter $a \in \mathbb{C}$ 及び $\lambda_i \in \mathbb{C}^*$ を用いてパラメータ化された $\mathfrak{sl}_{n+1}(\mathbb{C})$-加群のクラス $\Omega_{1-a}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$ が得られる。
• 重み空間構造や生成子の作用といった表現論的不変量を用いて、$\mathfrak{sl}_{n+1}(\mathbb{C})$-加群の同型類をパラメータ比較により分類する。
• $\Omega_{1-a}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$ が可約である場合、唯一の非自明な部分加群 $W_{1-a}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$ を持ち、商加群は最高重量 $m\Lambda_n$ を持つ有限次元 $\mathfrak{sl}_{n+1}(\mathbb{C})$-加群（$m \in \mathbb{Z}_+$）であることが示される。
• 局所的に有限でない作用および $\mathbb{C}[\mathfrak{h}]$-加群としての自由性により、既知のクラス（例えば一般化されたヴェルマ加群やホイトラー加群）とは区別される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の $b \in \mathbb{C}$ に対して、ねじれた $\mathcal{W}_n$-加群 $A_b$ が不可約となる条件は何か？
• RQ2 2つのこのような不可約 $\mathcal{W}_n$-加群 $A_b$ と $A'_b$ が $\mathcal{W}_n$-加群として同型となるのはどのような場合か？
• RQ3 パラメータ $a$ および $\lambda_i$ がどのような値のとき、$\mathfrak{sl}_{n+1}(\mathbb{C})$-加群 $\Omega_{1-a}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$ は不可約か？
• RQ4 $\Omega_{1-a}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$ が可約である場合、唯一の非自明な部分加群 $W_{1-a}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$ の構造は何か？
• RQ5 構成された $\mathfrak{sl}_{n+1}(\mathbb{C})$-加群は、一般化されたヴェルマ加群やホイトラー加群とどのように異なるか？

主な発見

• $\mathcal{W}_n$-加群 $A_b$ は、$\mathcal{W}_n$ の生成子の作用および元の $\mathcal{K}_n$-加群 $A$ の構造に関して、特定の条件を満たす場合に限り不可約である。特に、ある種の微分作用素が消えないことが条件に含まれる。
• 2つの不可約 $\mathcal{W}_n$-加群 $A_b$ と $A'_b$ が同型であるための必要十分条件は、それらのパラメータおよびねじれ作用の下での元の $\mathcal{K}_n$-加群構造が同値であることである。
• $\mathfrak{sl}_{n+1}(\mathbb{C})$-加群 $\Omega_{1-a}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$ は、$a \notin \mathbb{Z}$ かつ $\partial_i$ の作用に関連する非退化性条件を満たす $\lambda_i$ のとき、かつそのときに限り不可約である。
• $\Omega_{1-a}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$ が可約である場合、唯一の非自明な部分加群 $W_{1-a}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$ を持ち、商加群は最高重量 $m\Lambda_n$（$m \in \mathbb{Z}_+$）をもつ有限次元 $\mathfrak{sl}_{n+1}(\mathbb{C})$-加群である。
• $\mathfrak{sl}_{n+1}(\mathbb{C})$-加群 $\Omega_{1-a}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$ 及び $W_{1-a}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$ は、$e_{i,j}$（$i \neq j$）の作用が局所的に有限でなく、$\mathbb{C}[\mathfrak{h}]$-加群として自由であるため、任意の一般化されたヴェルマ加群やホイトラー加群とは同型でない。
• 2つの $\mathfrak{sl}_{n+1}(\mathbb{C})$-加群 $\Omega_{1-a}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$ と $\Omega_{1-a'}(\lambda_1',\dots,\lambda_n')$ が同型であるための必要十分条件は、すべての $i$ に対して $a = a'$ かつ $\lambda_i = \lambda_i'$ であることであり、同様に対応する $W$-加群に対しても成り立つ。