[論文レビュー] Irreducible representations of the rational Cherednik algebra associated to the Coxeter group H_3

Martina Balagović, Arjun Puranik|arXiv (Cornell University)|Apr 13, 2010

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、例外的コクセター群 $H_3$ および任意の複素数パラメータ $c$ に対して関連する有理チャレドニク代数のカテゴリ $\Omega_c(H_3, \mathfrak{h})$ におけるすべての既約表現の特徴を、表現論的技法と MAGMA の計算を用いて計算している。主な結果は、有限次元既約表現の完全な分類であり、$c = \frac{1}{2}$ のとき、$L_c(\mathbf{1}_+)$、$L_c(\mathbf{3}_-)$、$L_c(\widetilde{\mathbf{3}}_-)$ のみが有限次元であることを示しており、次数、対偶形式、ガロア不変性を用いて明示的なグローテンディーク群の式が導出されている。

ABSTRACT

This paper describes irreducible representations in category O of the rational Cherednik algebra H_c(H_3,h) associated to the exceptional Coxeter group H_3 and any complex parameter c. We compute the characters of all these representations explicitly. As a consequence, we classify all the finite dimensional irreducible representations of H_c(H_3,h).

研究の動機と目的

• 有理チャレドニク代数に関連する例外的コクセター群 $H_3$ および任意の複素数パラメータ $c$ に対して、カテゴリ $\mathcal{O}_c(H_3, \mathfrak{h})$ におけるすべての既約表現の特徴を計算すること。
• パrameter $c$ および $\tau$ に対して、$L_c(\tau)$ が有限次元であるようなものを探ることで、$H_c(H_3, \mathfrak{h})$ のすべての有限次元既約表現を分類すること。
• 特徴理論と表現論的制約を用いて、標準的ヴェルマモジュール $M_c(\sigma)$ を用いた、既約モジュールのグローテンディーク群の明示的表現を与えること。
• $c = \frac{1}{2}$ が $H_3$ に対して非特異的であることを示し、$(-1,0)$ に非特異的パラメータが存在するとする予想の反例として特定すること。
• $c \geq \frac{3}{2}$ で半整数である $c$ に対して、カテゴリ $\mathcal{O}_c$ と $\mathcal{O}_{c+1}$ の同倣関係を確立することで、初期の有限パラメータ集合を超えて特徴式を拡張できることを示すこと。

提案手法

• 既知の同倣関係 $\mathcal{O}_c \cong \mathcal{O}_{-c}$、$\mathcal{O}_{1/d} \cong \mathcal{O}_{r/d}$（$d \neq 2$ のとき）、および $\mathcal{O}_c \cong \mathcal{O}_{c+1}$（$c$ が十分に大きいとき）を用いて、パラメータ $(c, \tau)$ の集合を有限に削減すること。
• $H_c(H_3, \mathfrak{h})$ における $\mathfrak{sl}_2$-次数により、$\mathcal{O}_c$ のすべての表現が、有限次元 $H_3$-表現である成分を持つ次数構造を備えていることの利用。
• ヴェルマモジュール上の対偶形式 $B$ を用いて、特に MAGMA を用いた数値的検証を通じて、特定の次数成分におけるランク計算により、既約商の次元を特定すること。
• $\sqrt{5} \mapsto -\sqrt{5}$ における特徴トレースのガロア不変性を用いて、特に $L_c(\mathbf{1}_+)$ に対して、グローテンディーク群分解における係数を制約すること。
• $(12345)$ のような群元の作用を用いて、表現にトレースゼロの条件を課し、特徴式における未知係数を固定すること。
• $r$ が奇数で $r \geq 3$ のとき、$c = r/2$ に対して関手 $S_c^+$ がカテゴリの同倣関係であることを示し、これにより特徴式をすべての $c = r/2$（$r > 3$）に拡張できることを確立すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 カテゴリ $\mathcal{O}_c(H_3, \mathfrak{h})$ におけるどの既約表現 $L_c(\tau)$ が任意の複素数パラメータ $c$ に対して有限次元であるか？
• RQ2 カテゴリ $\mathcal{O}_c(H_3, \mathfrak{h})$ におけるすべての既約モジュール $L_c(\tau)$ の明示的特徴式は何か？
• RQ3 $c = \frac{1}{2}$ は $H_3$ に対して非特異的パラメータか？ また、非特異的パラメータが $(-1,0)$ に存在するとする予想に反するか？
• RQ4 関手 $S_c^+$ と $S_c^-$ はカテゴリ $\mathcal{O}_c$ にどのように作用するか？ また、それらが同倣関係であるための条件は何か？
• RQ5 $H_3$-不変量とガロア対称性は、$L_c(\tau)$ のグローテンディーク群分解における係数にどのような制約を課えるか？

主な発見

• $H_c(H_3, \mathfrak{h})$ の有限次元既約表現は $c = \frac{1}{2}$ のときのみであり、それらは $L_c(\mathbf{1}_+)$、$L_c(\mathbf{3}_-)$、$L_c(\widetilde{\mathbf{3}}_-)$ に限られる。
• $L_{1/2}(\widetilde{\mathbf{3}}_-)$ は $H_3$-不変量を自明に持ち、$c = \frac{1}{2}$ が $(-1,0)$ に非特異的パラメータが存在するとする予想の最初の反例であることを確認している。
• $c = \frac{1}{2}$ における $L_c(\mathbf{1}_+)$ のグローテンディーク群の式は、$M_c(\mathbf{1}_+) - M_c(\mathbf{5}_+) + M_c(\mathbf{5}_-) + n_{\mathbf{1}_+,\mathbf{3}_+}M_c(\mathbf{3}_+) + n_{\mathbf{1}_+,\widetilde{\mathbf{3}}_+}M_c(\widetilde{\mathbf{3}}_+)$ として決定されており、$n_{\mathbf{1}_+,\mathbf{3}_+} = n_{\mathbf{1}_+,\widetilde{\mathbf{3}}_+} = 1$ である。
• $L_c(\mathbf{3}_-)$ および $L_c(\widetilde{\mathbf{3}}_-)$ に対しては、そのグローテンディーク群分解における係数は $n_{\mathbf{3}_- , \mathbf{3}_+} + n_{\mathbf{3}_- , \widetilde{\mathbf{3}}_+} = -1$ および $n_{\widetilde{\mathbf{3}}_- , \mathbf{3}_+} + n_{\widetilde{\mathbf{3}}_- , \widetilde{\mathbf{3}}_+} = -1$ を満たし、トレース条件によりすべての個別係数が $-1$ に特定されている。
• $r$ が奇数で $r \geq 3$ のとき、$c = r/2$ に対して関手 $S_c^+$ がカテゴリの同倣関係であることが示され、これにより特徴式がすべての such $c$ に拡張可能である。
• $L_c(\mathbf{3}_-)$ および $L_c(\widetilde{\mathbf{3}}_-)$ の次数 $-3$ の部分における対偶形式 $B$ の核が 5 次元であることが確認され、これらのモジュールが有限次元であることを裏付けている。