[論文レビュー] Supports of irreducible spherical representations of rational Cherednik algebras of finite Coxeter groups

Pavel Etingof|arXiv (Cornell University)|Nov 17, 2009

Advanced Algebra and Geometry参考文献 8被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、有限コクセター群の有理チェレドニク代数の既約球的表現の台を、すべてのパrameter値 $c$ に対してマクドナルド＝マイハの積分と分布論を用いて決定する。また、これらの表現が有限次元となる条件を分類し、等価パラメータの場合のヴァラゴノロとヴァッセロートの結果を一般化する。

ABSTRACT

We determine the support of the irreducible spherical representation (i.e., the irreducible quotient of the polynomial representation) of the rational Cherednik algebra of a finite Coxeter group for any value of the parameter c. In particular, we determine for which values of c this representation is finite dimensional. This generalizes a result of Varagnolo and Vasserot, arXiv:0705.2691, who classified finite dimensional spherical representations in the case of Weyl groups and equal parameters (i.e., when c is a constant function). As an application, we compute the zero set of the kernel of the Macdonald pairing in the trigonometric case (for equal parameters). Our proof is based on the Macdonald-Mehta integral and the elementary theory of distributions.

研究の動機と目的

• 有限コクセター群の有理チェレドニク代数の既約球的表現の台を、すべてのパrameter値 $c$ に対して決定すること。
• 球的表現が有限次元となる $c$ の値を特定し、既存の結果を拡張すること。
• ワイル群の等価パラメータの場合におけるバーラゴノロとヴァッセロートの有限次元球的表現の分類を一般化すること。
• 等価パラメータ下での三角関数的設定における正規化されたマクドナルド双一次形式の核の零点集合を計算すること。
• 有限反射群論を用いた一様な証明により、有限次元球的表現の分類がバーラゴノロとヴァッセロートの結果と一致することを示すこと。

提案手法

• マクドナルド＝マイハの積分を用いて、複素化されたカルタン部分代数上に分布 $\xi_c^R$ を定義する。
• 分布論の理論を応用して、既約球的表現 $L_c$ の台を分析する。
• 多項式表現 $M_c$ 上の対偶双一次形式 $\beta_c$ に依存し、その核が最大部分モジュール $J_c$ を与える。
• 2つの反射共轭類をもつ群のためのペアコーシェポリノミアル $P_W(q)$ 及びその2変数版 $P_W(q_1,q_2)$ を用いる。
• 関係式 $ (P,Q)_c = \langle \xi_c^R, PQ \rangle $ を用いて、マクドナルド双一次形式と分布 $\xi_c^R$ を結びつける。
• 付録において、正則元および円型元、およびコードグリーを含む反射群論の結果を用いて、一様な分類を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パrameter $c$ のどの値に対して、有理チェレドニク代数の既約球的表現が有限次元になるか？
• RQ2 有限コクセター群および任意の $c$ に対して、既約球的表現 $L_c$ の台は何か？
• RQ3 $L_c$ の台が、$q = e^{2\pi i c}$ における比 $P_W/P_{W_a}$ の消滅とどのように関係するか？
• RQ4 パrameter $c$ による有限次元球的表現の分類は、ワイル群の状況においてバーラゴノロとヴァッセロートの結果と一致するか？
• RQ5 等価パラメータ下での三角関数的設定における正規化されたマクドナルド双一次形式の核の零点集合は何か？

主な発見

• 既約球的表現 $L_c$ の台は、$W_a$ を $a$ の安定化部分群として、$q = e^{2\pi i c}$ における $P_W/P_{W_a}$ の非消滅に依存する。
• $W = I_2(2m)$、$B_n$、または $F_4$ の場合、2変数ペアコーシェポリノミアルを用いて $L_c$ の台を明示的に計算できる。
• $W = B_2$ かつ $c = 1/2$ の場合、台は2点 $(1,1)$ および $(-1,-1)$ から構成され、$L_c$ は1次元および4次元の既約表現に分解する。
• 表現 $L_c$ が有限次元であるための必要十分条件は、$c$ が有理数であり、かつすべての $a \in \mathfrak{h}_\mathbb{R}$ に対して $P_W/P_{W_a}$ が $e^{2\pi i c}$ で消えないことである。
• 等価パラメータ下での有限次元球的表現の分類は、付録で反射群論を用いた一様な証明により、バーラゴノロとヴァッセロートの結果と一致することが示された。
• 三角関数的設定下での正規化されたマクドナルド双一次形式の核の零点集合は、$\xi_c^R$ の台に一致し、それは $L_c$ の台と一致する。