[論文レビュー] Irreducible $W_n^+$-modules from Weyl modules and $\mathfrak{gl}_{n}$-modules

Genqiang Liu, Rencai Lü+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 1, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 20被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、シェンの単形射を通じて、ウェイラー代数 $\mathcal{K}_n^+$ および一般線型代数 $\mathfrak{gl}_n$ の既約モジュールのテンソル積を用いて、Witt代数 $W_n^+$ および $W_n$ 上の既約重みモジュールおよび非重みモジュールを構成する。既約性の必要十分条件を特定し、可約の場合の部分モジュールを完全に分類することで、多様な重み支持を持つ多数の新しい既約モジュールを導出する。

ABSTRACT

For an irreducible module $P$ over the Weyl algebra $\mathcal{K}_n^+$ (resp. $\mathcal{K}_n$) and an irreducible module $M$ over the general liner Lie algebra $\mathfrak{gl}_n$, using Shen's monomorphism, we make $P\otimes M$ into a module over the Witt algebra $W_n^+$ (resp. over $W_n$). We obtain the necessary and sufficient conditions for $P\otimes M$ to be an irreducible module over $W_n^+$ (resp. $W_n$), and determine all submodules of $P\otimes M$ when it is reducible. Thus we have constructed a large family of irreducible weight modules with many different weight supports and many irreducible non-weight modules over $W_n^+$ and $W_n$.

研究の動機と目的

• Witt代数 $W_n^+$ および $W_n$ 上の既約モジュールの構成を、ウェイラー代数 $\mathcal{K}_n^+$ および $\mathcal{K}_n$ のモジュールのテンソル積を用いて拡張すること。
• テンソル積 $P \bigotimes M$ が $W_n^+$-モジュールまたは $W_n$-モジュールとして既約となるための必要十分条件を特定すること。
• $P \bigotimes M$ が可約である場合のすべての部分モジュールを分類し、完全な構造的記述を提供すること。
• 重み支持が多様な既約重みモジュールおよび非重みモジュールを $W_n^+$ および $W_n$ 上に多数生成すること。
• シェンの単形射を活用して、$\mathcal{K}_n^+$ および $\mathcal{K}_n$ 上のモジュール構造を $W_n^+$ および $W_n$ 上に持ち上げることで、既存のモジュール構成を一般化すること。

提案手法

• シェンの単形射を用いて、$\mathcal{K}_n^+$ および $\mathcal{K}_n$ の作用をWitt代数 $W_n^+$ および $W_n$ 上に持ち上げる。
• $P$ を $\mathcal{K}_n^+$-モジュール、$M$ を $\mathfrak{gl}_n$-モジュールとするとき、テンソル積 $P \bigotimes M$ をとる。
• 単形射による持ち上げられた作用を通じて、$P \bigotimes M$ に $W_n^+$-モジュールまたは $W_n$-モジュール構造を導入する。
• 表現論および $\mathcal{K}_n^+$ と $\mathfrak{gl}_n$ のモジュール構造を用いて、$P \bigotimes M$ のモジュール構造を分析する。
• 不変式理論および重み空間の分解を用いて、既約性条件を特定する。
• ウェイラー・モジュールおよび $\mathfrak{gl}_n$-モジュールの既約性の構造を応用し、可約な場合の部分モジュールを分類する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 テンソル積 $P \bigotimes M$ が $W_n^+$-モジュールとして既約となる条件は何か？
• RQ2 $P \bigotimes M$ が可約である場合、その部分モジュール構造を完全に記述できるか？
• RQ3 構成された $W_n^+$-モジュールの重み支持構造はどのようなものか？また、その多様性はどの程度か？
• RQ4 この構成により、$W_n^+$ および $W_n$ 上の既約非重みモジュールを生成できるか？
• RQ5 シェンの単形射は、$\mathcal{K}_n^+$ および $\mathcal{K}_n$ 上のモジュール構造を $W_n^+$ および $W_n$ 上にどのように持ち上げるか？

主な発見

• $P \bigotimes M$ が $W_n^+$-モジュールとして既約であるための必要十分条件は、$P$ と $M$ 間の特定の整合性条件を満たすことである。
• $P \bigotimes M$ が可約である場合、すべての部分モジュールが完全に分類され、部分モジュール格子の完全な記述が得られる。
• 本構成により、任意に複雑で多様な重み支持を持つ $W_n^+$ および $W_n$ 上の既約重みモジュールが得られる。
• 本手法により、$W_n^+$ および $W_n$ 上の既約非重みモジュールが生成され、既知の同種モジュールのクラスが拡張される。
• シェンの単形射の使用により、導出された条件のもとで既約性が保たれる。
• 構成されたモジュールの族は大きく、重みモジュールおよび非重みモジュールを含み、$W_n^+$ および $W_n$ の表現論を著しく豊かにする。