[論文レビュー] Irregular connections and Kac-Moody root systems

Philip Boalch|SPIRE - Sciences Po Institutional REpository|Jun 5, 2008

Advanced Algebra and Geometry参考文献 26被引用数 54

ひとこと要約

本稿は、リーマン球面上の不規則な有理型接続のモジュライ空間とナカジマ双対グラフ多様体の間の対応を確立し、その接続がそれらの背後にあるグラフ構造を通じてカック＝ムーディ根系を生じることを示している。ワイル群作用（反射関手を介して）とグラフ双対性により、モジュライ空間同士の同型が得られ、これはペアノレ方程式に関する既知の結果を一般化し、クレイリー＝ブイの安定性結果を不規則な設定へと拡張する。

ABSTRACT

Some moduli spaces of irregular connections on the trivial bundle over the Riemann sphere will be identified with Nakajima quiver varieties. In particular this enables us to associate a Kac-Moody root system to such connections (yielding many isomorphisms between such moduli spaces, via the reflection functors for the corresponding Weyl group). The possibility of 'reading' a quiver in different ways also yields numerous isomorphisms between such moduli spaces, often between spaces of connections on different rank bundles and with different polar divisors. Finally some results of Crawley-Boevey on the existence of stable connections will be extended to this more general context.

研究の動機と目的

• リーマン球面上の自明なバンドル上の不規則接続のモジュライ空間とナカジマ双対グラフ多様体との間の幾何的対応を確立すること。
• このような接続が、それらの背後にあるグラフ構造を通じて自然にカック＝ムーディ根系を生じることを示すこと。
• 第4のペアノレ方程式とアフィン $\widehat{A}_2$ ワイル群との既知の関係を、より広いクラスの接続およびグラフへ一般化すること。
• クレイリー＝ブイの安定接続に関する結果を、特に極の位数が3以下で不規則型が半単純である場合の不規則設定へ拡張すること。

提案手法

• リーマン球面上の自明なバンドル上での固定された形式的型をもつ有理型接続のモジュライ空間 $\mathcal{M}^*$ を、形式的モノドロミーとストークスデータを用いて構成する。
• これらのモジュライ空間を、基になる完全 $k$-部グラフ $\Gamma$ をもつグラフ $\mathcal{Q}$ に対して、ナカジマ双対グラフ多様体 $\mathcal{N}_{\mathcal{Q}}(\mathbf{d}, \lambda)$ と特定する。
• 不規則型 $\left(\frac{A_0}{z^k} + \cdots + \frac{A_{k-2}}{z^2}\right)dz$ の構造を用いて、安定化部分群 $H_i$ の入れ子的な系列を定義し、固有空間の根付き木を構成する。
• 不規則型の共軛軌道 $\mathcal{O}_B$ を $r$-分裂操作を用いてグラフ多様体として符号化する：ノードを $r$ 条のエッジで接続された複数のノードに置き換える。
• グラフ表現論における反射関手を適用し、ワイル群作用を生成し、異なる接続のモジュライ空間同士の同型を得る。
• ノードに「脚」（タイプ $A$ ディンキン図）を付加して、フックス特異点をモデル化し、複数の正則特異点をもつ接続へ対応を拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リーマン球面上の不規則接続のモジュライ空間は、どのようにしてナカジマ双対グラフ多様体と特定されるか？
• RQ2 与えられた不規則接続から生じるカック＝ムーディ根系は何か？ そのワイル群はモジュライ空間にどのように作用するか？
• RQ3 複数の方法でグラフを「読み取ること」によって得られる異なるグラフ構造（「読み方」の違い）は、異なるランクのバンドルおよび異なる極構造をもつ接続のモジュライ空間同士の同型をどのようにもたらすか？
• RQ4 クレイリー＝ブイの安定接続の存在結果は、特に極の位数が3以下で不規則型が半単純である場合の不規則な状況へどのように拡張可能か？
• RQ5 高次の極（例：位数4以上）から生じるグラフ構造は何か？ そして、それはどのように $r$-分裂によって符号化されるか？

主な発見

• 極の位数が3以下で不規則型が半単純であり、かつ有限個のフックス特異点をもつ不規則接続のモジュライ空間は、完全 $k$-部グラフ $\Gamma$ に対するナカジマ双対グラフ多様体と同型である。
• 関連するカック＝ムーディ根系のワイル群は、反射関手を介して作用し、異なる接続のモジュライ空間同士の明示的同型を誘導する。
• 同じモジュライ空間は、グラフの「読み方」に応じて複数の方法でグラフ多様体として実現可能であり、これにより異なるランクのバンドルおよび異なる極構造をもつ接続のモジュライ空間同士の同型が得られる。
• 高次の極（例：位数 $k \geq 4$）に対しては、グラフ構造が複数のエッジを含み、ノードの $r$-分裂によって符号化される。エッジの多重度は極の位数に依存する。
• 不規則型の共軛軌道 $\mathcal{O}_B$ は、固有空間の根付き木上の再帰的 $r$-分裂プロセスを経て、ハミルトニアン $H$-空間としてグラフ多様体 $\mathbb{V}(\mathcal{Q})$ と同型である。
• ランク2バンドル上に位数4の極をもつ1つの極、かつ正則半単純 $A_0$ をもつ場合、対応するグラフはアフィン $A_1$ ディンキン図であり、ペアノレIV方程式に関する既知の結果と整合的である。