[論文レビュー] Is a bivariate polynomial with plus minus 1 coefficients irreducible? Very likely!

Lior Bary‐Soroker, Gady Kozma|arXiv (Cornell University)|Feb 21, 2016

Analytic Number Theory Research参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、係数が±1に制限された2変数多項式の既約性を調査する。確率論的手法と、係数をMで法として削減するリビンの議論の変種を用いて、次数rが増加するにつれて、このような多項式が可約である確率が0に近づくことを証明する—つまり、大規模な次数では、これらの多項式はほとんど確実に既約であることを示している。

ABSTRACT

We prove that a random bivariate polynomial with plus minus 1 coefficients is irreducible with high probability.

研究の動機と目的

• 係数が±1に制限された2変数多項式の可約性の確率を調査すること。
• 1変数多項式における既知の結果を±1係数の2変数の場合に拡張すること。
• 大規模な次数において、このような2変数多項式がほとんど確実に既約であることを示すこと。
• 法的算術と除因子数え上げを用いて、可約性確率に対する厳密な確率的バウンドを提供すること。

提案手法

• 可約な多項式をバウンドするために、先頭係数と定数項を法Mで条件づけるリビンの議論の変種を用いる。
• 奇数係数が[−(2N−1), 2N−1]に含まれる多項式の集合Ω(r,N)を定義し、M=2N+1で一意的（単射的）な還元を保証する。
• 係数分解と法的像の制約を用いて、因数分解の数を数えることで、可約な多項式の数をバウンドする。
• バウンド∑|d|≤N 1/|d| ≪ log N を適用し、確率推定値に(log N)²の因子を導出する。
• F(X,Y)が可約であるならば、F(2,Y)またはF(X,2)が可約、またはF(X,Y)=f(X)g(Y)であることを用いて、ケース別解析を可能にする。
• 主バウンドを用いて各ケースの確率を推定し、r→∞のときの減衰を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次数が増加するにつれて、±1係数の2変数多項式が可約である確率の漸近的確率は何か？
• RQ2 1変数の場合の困難さを考慮しても、このような多項式の既約性は確率論的手法によって確立可能か？
• RQ3 2番目の変数の導入は、1変数±1係数多項式と比較して、可約性の可能性にどのように影響するか？
• RQ4 奇数係数をもつ可約多項式の数をバウンドする際に、法的削減はどのような役割を果たすか？
• RQ5 2変数因数分解の構造を活用することで、ほとんど確実な既約性を証明できるか？

主な発見

• 係数が±1の2変数多項式F(X,Y)が可約である確率は、r→∞のとき0に収束する。
• 可約性確率のバウンドはO(r³ / 2ʳ)であり、これは指数関数的に0に近づく。
• 主な技術的道具は、リビンの議論の洗練版であり、奇数係数が[−(2N−1), 2N−1]にある多項式に対して、C·r(log N)² / N · (1 + 1/(2N))ʳというバウンドをもたらす。
• F(2,Y)およびF(X,2)において、係数の大きさは2ʳのオーダーで増加するため、N=2ʳとおくと、減衰率はr³ / 2ʳとなる。
• F(X,Y)=f(X)g(Y)のケースは無視できるほど小さく、確率は最大2⁻ʳ²であり、漸近的に無視可能である。
• すべてのケースにおける可約性の総確率は0に収束するため、大規模なrに対して、このような多項式はほとんど確実に既約であることが証明される。