[論文レビュー] Is PT-symmetric quantum mechanics just quantum mechanics in a non-orthogonal basis?

Damien Martin|ArXiv.org|Jan 29, 2007

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 11被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、PT対称な量子力学が非直交基底における標準的量子力学と同等であると主張している。つまり、PT対称理論における非エルミートハミルトニアンは、基底変換の下でユニタリに等価なエルミート形式に書き換え可能である。主な結果は、有限次元系においてPT対称な量子力学と通常の量子力学の間に実験的区別が存在しないこと、そしてPT対称系におけるより速い量子力学的進化の主張が座標依存の誤差に過ぎないということである。

ABSTRACT

One of the postulates of quantum mechanics is that the Hamiltonian is Hermitian, as this guarantees that the eigenvalues are real. Recently there has been an interest in asking if $H^\dagger = H$ is a necessary condition, and has lead to the development of PT-symmetric quantum mechanics. This note shows that any finite physically acceptable non-Hermitian Hamiltonian is equivalent to doing ordinary quantum mechanics in a non-orthogonal basis. In particular, this means that there is no experimental distinction between PT-symmetric quantum mechanics and ordinary quantum mechanics for finite systems. In particular, the claim that PT-symmetric quantum mechanics allows for faster evolution than Hermitian quantum mechanics is shown to be a problem of physical interpretation.

研究の動機と目的

• PT対称な量子力学が標準的量子力学の真の一般化であるか、それとも基底変換の下で同等であるかを特定すること。
• PT対称理論における非エルミートハミルトニアンが新しい物理を記述しているのか、それとも単に別の数学的表現に過ぎないのかという基礎的混乱を解消すること。
• PT対称系におけるより速い量子力学的進化の主張が物理的差異ではなく、基底選択の結果であることを示すこと。
• 非直交基底における内積とユニタリティの役割を明確にすること、特に確率保存と観測可能量との関係において。

提案手法

• 非直交基底を正規直交基底に写像するユニタリ変換を構築し、新しい基底における非エルミートハミルトニアンが標準基底ではエルミート形式に対応することを示した。
• PT対称量子力学における物理的内積がハミルトニアンによって動的に決定され、メトリック演算子Cに対応することを示した。これにより時間発展演算子がユニタリになる。
• 観測可能量が物理的内積の下でもエルミートの性質を保つこと（計算用の非物理的基底では行列表現が非エルミートであっても）に依拠した。
• 量子ブライアチストローネ問題を分析し、表面的なより速い進化が非直交基底の使用に起因することを示した。
• 等価性が厳密に確立される有限次元ヒルベルト空間に限定して分析を行った。
• 演算子の数学的表現（ある基底では非エルミートである可能性がある）と物理的性質（物理的内積の下では常にエルミート）の違いを明確にした。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 PT対称な量子力学は物理的に標準的量子力学とは区別可能か、それとも非直交基底における再定式化に過ぎないか？
• RQ2 有限次元系において、PT対称理論における非エルミートハミルトニアンはユニタリにエルミート形式に等価か？
• RQ3 PT対称系におけるより速い量子力学的進化の主張は、物理的利点を示しているのか、それとも基底依存の誤差に過ぎないか？
• RQ4 非直交基底における内積とユニタリティはどのように振る舞い、C演算子は物理的一致性を保つために果たす役割は何か？

主な発見

• 任意の有限次元の非エルミートPT対称ハミルトニアンは、正規直交基底で記述されたとき、ユニタリにエルミートハミルトニアンに等価である。
• PT対称量子力学における物理的内積は基本的ではないが、ハミルトニアンによって決定され、ユニタリ時間発展演算子と実数固有値を保証する。
• PT対称系がより速く進化するという主張は物理的差異ではなく、座標依存の誤差に過ぎず、標準的記述でも同じ進化時間を得る。
• PT対称量子力学における観測可能量は、物理的内積の下では依然としてエルミート演算子として表現されるが、計算基底では行列表現が非エルミートに見えることがある。
• PT対称量子力学の理論は標準的量子力学を拡張するものではなく、非直交基底における数学的に同等な別の定式化に過ぎない。
• 有限次元系において、PT対称量子力学と標準的量子力学を区別する実験的検証は存在しない。