[論文レビュー] Is set theory indispensable?

Nik Weaver|ArXiv.org|May 11, 2009

Philosophy and Theoretical Science参考文献 23被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、すべての主流数学がより哲学的に妥当で、形而上的に余分なコミットメントが少ない予言的体系で形式化可能であるため、選択公理を含むツェルメロ＝ラーメロ・フレンケル集合論（ZFC）が、主流数学や科学において不可欠ではないと主張している。主な貢献は、集合論的プラトニズムおよびクイン＝プットンの便宜性仮説に対する批判であり、ZFCにはしっかりした哲学的基盤がなく、むしろ誤った数論的命題を証明してしまう可能性があると結論している。

ABSTRACT

Although Zermelo-Fraenkel set theory (ZFC) is generally accepted as the appropriate foundation for modern mathematics, proof theorists have known for decades that virtually all mainstream mathematics can actually be formalized in much weaker systems which are essentially number-theoretic in nature. Feferman has observed that this severely undercuts a famous argument of Quine and Putnam according to which set theoretic platonism is validated by the fact that mathematics is "indispensable" for some successful scientific theories (since in fact ZFC is not needed for the mathematics that is currently used in science). I extend this critique in three ways: (1) not only is it possible to formalize core mathematics in these weaker systems, they are in important ways better suited to the task than ZFC; (2) an improved analysis of the proof-theoretic strength of predicative theories shows that most if not all of the already rare examples of mainstream theorems whose proofs are currently thought to require metaphysically substantial set-theoretic principles actually do not; and (3) set theory itself, as it is actually practiced, is best understood in formalist, not platonic, terms, so that in a real sense *set theory is not even indispensable for set theory*. I also make the point that even if ZFC is consistent, there are good reasons to suspect that some number-theoretic assertions provable in ZFC may be false. This suggests that set theory should not be considered central to mathematics.

研究の動機と目的

• ツェルメロ＝ラーメロ・フレンケル集合論に選択公理を加えたZFCが数学の基盤として哲学的に正当化されているかどうかを検証すること。
• 科学や主流数学が実際に集合論を必要としないことから、クイン＝プットンの便宜性仮説が失敗することを主張すること。
• 主流数学のほとんど、科学的に応用可能な数学を含めて、予言的で数論的体系で形式化できることを示すこと。
• 現在の集合論の実践が、プラトニズムよりも形式的であると捉えるべきであり、その基盤的役割を揺るがすこと。
• ZFCで証明可能なが、予言的体系で証明できない数論的命題の真偽について疑問を呈し、ZFCが誤った算術を証明してしまう可能性があると示すこと。

提案手法

• 予言的体系の証明論的強さを分析し、ZFCと比較して主流数学を形式化する能力を評価すること。
• 証明論および逆数学の結果を応用し、『集合論的』原則を必要とする大多数の定理が、より弱く予言的体系でも形式化可能であることを示すこと。
• 集合の反復的構成概念が、無限や非可算集合に適用されたときに破綻する物理的比喩（例：冪集合を操作によって形成する）に依存していることの批判。
• 集合論的プラトニズムの認識論的および存在論的問題、特に抽象的集合をどのように知ることができるかの整合的説明の欠如を検討すること。
• ZFCの整合性と真偽を、標準的ωを持つモデルがあるかどうかを評価することで検討し、特別な正当化がない限りそのようなモデルが存在しない可能性が高いと主張すること。
• ローイエンハイム＝スコーレムの定理を用いて、非可算構造を集合論を前提せずに意味的に記述することは不可能であり、物理的または直感的なアクセス可能性を主張する主張を根底から覆すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ツェルメロ＝ラーメロ・フレンケル集合論に選択公理を加えたZFCは、実際に主流数学や科学的応用において不可欠なのか？
• RQ2 ZFCの全強さを、より哲学的に妥当で、かつコア数学を形式化するのに十分な弱い予言的体系に置き換えることは可能か？
• RQ3 科学や数学が実際に集合論を必要としないことから、クイン＝プットンの便宜性仮説が集合論的プラトニズムを正当化できるのか？
• RQ4 ZFCが予言的体系で証明できない数論的命題を真に証明するという、哲学的に説得力のある根拠はあるか？
• RQ5 集合論はプラトニズムなしに理解され、実践できるのか？ もしそうなら、そのことはその基盤的役割を揺るがすのか？

主な発見

• 科学に応用可能な主流数学のすべてが、ZFCと同程度に洗練され使いやすい予言的体系（例：体系CM）で形式化可能である。
• ZFCは、予言的体系で証明できない数論的命題、特に標準的ωを持つモデルを持たない可能性が高いことから、第一階数論における誤った命題を証明する可能性が高い。
• クイン＝プットンの便宜性仮説は失敗する。科学は実際に集合論に依存しておらず、科学に使われる数学は本質的に数論的で予言的である。
• 現在の集合論の実践は、主に形式的性質を有しており、プラトニズムなしに正当化可能であるため、形而上的な基盤の必要性が揺らぐ。
• 集合の反復的構成概念は、無限や非可算集合に適用されたときに破綻する物理的比喩（例：操作によって冪集合を形成する）に依存しており、整合的でない。
• 連続体仮説のような決定不能な問題が集合論に存在する一方で、数論には同様の問題がないことから、集合論的命題の真偽について広く懐疑的になる要因となっている。