[論文レビュー] Is the log-law a first principle result from Lie-group invariance analysis?

Michael Frewer, George Khujadze+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 4, 2014

Fluid Dynamics and Turbulent Flows参考文献 43被引用数 7

ひとこと要約

本論文は、リーマン群不変性解析が乱流における統計的スケーリング則、特に壁面上流動における対数則を第一原理から導出可能であるという主張を批判的に検証する。オーバーラック（2001）の導出は、このアプローチの基盤とされてきたが、技術的誤りを含み、一意でない任意の結果を導くにとどまり、きびしい普遍的法則ではなく、第一原理フレームワークとしての信頼性を損なう。

ABSTRACT

The invariance method of Lie-groups in the theory of turbulence carries the high expectation of being a first principle method for generating statistical scaling laws. The purpose of this comment is to show that this expectation has not been met so far. In particular for wall-bounded turbulent flows, the prospects for success are not promising in view of the facts we will present herein. Although the invariance method of Lie-groups is able to generate statistical scaling laws for wall-bounded turbulent flows, like the log-law for example, these invariant results yet not only fail to fulfil the basic requirements for a first principle result, but also are strongly misleading. The reason is that not the functional structure of the log-law itself is misleading, but that its invariant Lie-group based derivation yielding this function is what is misleading. By revisiting the study of Oberlack (2001) we will demonstrate that all Lie-group generated scaling laws derived therein do not convince as first principle solutions. Instead, a rigorous derivation reveals complete arbitrariness rather than uniqueness in the construction of invariant turbulent scaling laws. Important to note here is that the key results obtained in Oberlack (2001) are based on several technical errors, which all will be revealed, discussed and corrected. The reason and motivation why we put our focus solely on Oberlack (2001) is that it still marks the core study and central reference point when applying the method of Lie-groups to turbulence theory. Hence it is necessary to shed the correct light onto that study. Nevertheless, even if the method of Lie-groups in its full extent is applied and interpreted correctly, strong natural limits of this method within the theory of turbulence exist, which, as will be finally discussed, constitute insurmountable obstacles in the progress of achieving a significant breakthrough.

研究の動機と目的

• リーマン群不変性解析が乱流における統計的スケーリング則を第一原理から導出可能であるという広く信じられている信念に挑戦すること。
• 乱流せん断流れにおける対称性に関するオーバーラック（2001）の決定的業績における技術的誤りを特定・是正すること。
• リーマン群に基づく対数則の導出が一意ではなく、第一原理的結果の基準を満たさないことを示すこと。
• 壁面上乱流の普遍的スケーリング則を導出するにあたり、リーマン群法の根本的限界を明らかにすること。
• 正しく適用されたとしても、この方法が乱流理論における飛躍的進展を達成するにあたり、克服できない自然的限界に直面することを主張すること。

提案手法

• ナヴィエ＝ストークス方程式に対してリーマン群不変性解析を用いた、オーバーラック（2001）の不変スケーリング則の導出を再検討した。
• マセラの gendef および pdesolv などの記号計算ツールを用いて、対称性生成子の決定系を再構築した。
• 特に関数的依存関係および対称性条件の取り扱いにおける、元の導出における技術的誤りを特定・是正した。
• 導出されたスケーリング則の背後にある任意性を明らかにするために、対称性生成子を任意関数の形で再表現した。
• 完全な決定方程式系を再構築し、不変解の非一意性を露呈した。
• 結果として得られるスケーリング則が任意関数に依存することを示し、第一原理的結果としての地位を損なうことを明らかにした。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リーマン群不変性解析は、壁面上乱流のスケーリング則を一意かつ第一原理的に導出可能か？
• RQ2 オーバーラック（2001）のリーマン対称性による対数則の導出における技術的誤りは何か？
• RQ3 理論的期待に反して、リーマン群法が一意な不変スケーリング則を導けないのはなぜか？
• RQ4 リーマン不変性を用いた対数則の導出は、どの程度第一原理的結果として信頼できるか？
• RQ5 乱流理論の文脈において、リーマン群法の根本的限界は何か？

主な発見

• オーバーラック（2001）におけるリーマン群不変性を用いた対数則の導出には、第一原理的結果としての主張を無効にする複数の技術的誤りが含まれる。
• 対称性解析により、導出されたスケーリング則が一意ではなく、任意関数に依存することが判明し、数学的厳密性に欠けることが示された。
• 正しく修正されたとしても、この方法はナヴィエ＝ストークス方程式によって一意に決定されない解を生じさせ、第一原理的法則としての地位を損なう。
• 対数則自体の関数的構造は誤解を招くものではなく、むしろ不変導出プロセスそのものが根本的に誤りであり、誤解を招くものである。
• 正しく適用されたとしても、リーマン群法は、乱流境界層の普遍的スケーリング則を導出するにあたり、克服できない自然的限界に直面する。
• 本研究は、初期の期待に反して、この方法が乱流スケーリング則の堅実な第一原理フレームワークとして機能できないと結論づける。