[論文レビュー] Is there a physically universal cellular automaton or Hamiltonian?

Dominik Janzing|arXiv (Cornell University)|Sep 9, 2010

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 36被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、セルフラーモード（CA）およびハミルトニアン系における物理的普遍性の概念を導入し、補集合を適切な状態に初期化することで、有限領域における任意の変換を自律的に行えるようにする。主な貢献は、制御の熱力学的コストを考慮した物理的根拠に基づく事前確率および複雑性測度であり、無限の制御階層を回避して、計算および制御の熱力学を研究するための枠組みを提供する。

ABSTRACT

It is known that both quantum and classical cellular automata (CA) exist that are computationally universal in the sense that they can simulate, after appropriate initialization, any quantum or classical computation, respectively. Here we introduce a different notion of universality: a CA is called physically universal if every transformation on any finite region can be (approximately) implemented by the autonomous time evolution of the system after the complement of the region has been initialized in an appropriate way. We pose the question of whether physically universal CAs exist. Such CAs would provide a model of the world where the boundary between a physical system and its controller can be consistently shifted, in analogy to the Heisenberg cut for the quantum measurement problem. We propose to study the thermodynamic cost of computation and control within such a model because implementing a cyclic process on a microsystem may require a non-cyclic process for its controller, whereas implementing a cyclic process on system and controller may require the implementation of a non-cyclic process on a "meta"-controller, and so on. Physically universal CAs avoid this infinite hierarchy of controllers and the cost of implementing cycles on a subsystem can be described by mixing properties of the CA dynamics. We define a physical prior on the CA configurations by applying the dynamics to an initial state where half of the CA is in the maximum entropy state and half of it is in the all-zero state (thus reflecting the fact that life requires non-equilibrium states like the boundary between a hold and a cold reservoir). As opposed to Solomonoff's prior, our prior does not only account for the Kolmogorov complexity but also for the cost of isolating the system during the state preparation if the preparation process is not robust.

研究の動機と目的

• 有限領域における任意の変換が、補集合を適切に初期化した後に自律的時間発展によって実現可能な、セルフラーモードおよびハミルトニアン系における物理的普遍性の形式的定式化を目的とする。
• 制御者と制御対象を同等の物理的立場においてモデル化することで、制御階層の無限帰納を回避し、物理学および制御理論における基礎的問題に取り組むことを目的とする。
• コルモゴロフ複雑度を越えて、状態準備のための熱力学的コストを組み込んだ、量子および古典的状態の物理的根拠に基づく事前確率を定義することを目的とする。
• 部分系における循環的プロセスを実装する際の熱力学的コストを探索し、力学の混合性を用いて制御コストを記述することを目的とする。

提案手法

• 物理的普遍性を、セルフラーモードにおいて、補集合 L\R を適切な状態に初期化した後に、任意の有限変換を自律的時間発展によって実現可能であるという性質として定義する。
• 宇宙の初期状態を、片方の半分で高温（最大エントロピー）状態、もう片方の半分で低温（最小自由エネルギー）状態のギブズ状態のテンソル積として構築する。これは、熱力学的バッチに類似した非平衡状態を反映する。
• 初期状態をCAまたはハミルトニアン力学で時間発展させ、時間tにおける領域Rでターゲット純粋状態が観測される確率を測定し、この確率に基づいて物理的事前確率を定義する。
• この確率の逆数を物理的複雑性の測度として用い、環境からの隔離や熱の放出といったコストを含めた状態準備のコストを捉える。
• 局所代数をR^d内の領域に割り当てることで、場理論への拡張を可能にし、ローレンツ不変な事前確率を定義する。
• C*-代数および動的半群の観点から問題を定式化することで、無限次元局所代数を持つ量子格子系への一般化を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限領域における任意の変換が、補集合を適切に初期化した後に自律的時間発展によって実現可能な、物理的普遍性を持つセルフラーモードまたはハミルトニアンは存在するか？
• RQ2 部分系における循環的プロセスを実装する際の熱力学的コストは何か？また、制御者が自身も系に含まれる場合、このコストはどのようにスケーリングするか？
• RQ3 コルモゴロフ複雑度に加え、状態準備時の系の隔離コストを考慮した物理的根拠に基づく事前確率は、どのように定義できるか？
• RQ4 ローレンツ不変な事前確率を持つ場理論へ、物理的普遍性の概念を拡張することは可能か？その基礎物理学へのインパクトは何か？
• RQ5 物理的相互作用が双方向的であることを尊重する形で、ある系が他の系を制御できる条件は何か？単方向的因果関係の仮定を避けるにはどうすればよいか？

主な発見

• 物理的普遍性は、制御者と制御対象を同等の物理的立場において扱い、制御階層の無限帰納を回避する、動的系における新しい普遍性の形式である。
• 宇宙の初期状態は、補集合となる二つの領域に異なる温度のギブズ状態の積として定義され、熱力学的バッチのような非平衡状態をモデル化する。
• 初期状態を時間発展させ、時間tにおける領域Rでターゲット純粋状態が観測される確率を測定し、この確率に基づいて物理的事前確率を定義する。この確率が複雑性の測度として機能する。
• この事前確率は、熱の放出や環境からの隔離といった熱力学的コストを捉えており、ソロモンフの事前確率よりも物理的に現実的である。
• この枠組みにより、物理的複雑性を、力学を介してプロセスを実装するために必要なプログラム長として定義可能であり、温度勾配を用いた自由メモリ空間の生成も含む。
• このモデルは、特に量子系および場理論的設定において、計算および制御の熱力学を一貫して研究するための枠組みを提供する物理的普遍系の可能性を示唆する。