[論文レビュー] Isolated points in the space of left orderings of a group

Adam Clay|ArXiv.org|Dec 12, 2008

Finite Group Theory Research参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、群の左順序の空間における孤立点を調査し、前人研究を非可算群へと拡張する。密度のある左順序は孤立していないことが証明され、密度のある順序の閉包は、カントール集合に位相的に同相な稠密な $G_{\delta}$ 部分集合である。ブレード群に関しては、デルワア順序がその共役の集積点であるが、孤立点ではないことが示された。これは、離散的であるにもかかわらずである。

ABSTRACT

Let G be a left orderable group and LO(G) the space of all left orderings. We investigate the circumstances under which a left ordering < of G can correspond to an isolated point in LO(G), in particular we extend known results to cover the case of uncountable groups. With minor technical restrictions on the group G, we also find that no dense left ordering is isolated in LO(G), and that the closure of the set of all dense left orderings of G yields a dense G-delta set within a Cantor set of left orderings in LO(G). Lastly, we show that certain conditions on a discrete left ordering of G can guarantee that it is not isolated in LO(G), and we illustrate these ideas using the Dehornoy ordering of the braid groups.

研究の動機と目的

• 群 $G$ の左順序が空間 $LO(G)$ 内で孤立点に対応するための条件を特定すること、特に非可算群に対して。
• [9] の主結果である孤立左順序に関する結果を、やや技術的制約の下で非可算群へ一般化すること。
• $LO(G)$ の位相的構造、特に密度のある順序と離散的順序の役割を分析すること。
• ブレード群のデルワア順序が孤立点かどうかを、共役のダイナミクスと凸部分群構造を用いて調査すること。
• その凸部分群構造に基づいて、離散的左順序がなぜ孤立しないのかを特定すること。

提案手法

• 左順序の正の錐表現を用い、$LO(G)$ を $2^G$ の閉部分空間として、積位相と同一視する。
• 正の錐の共役による $G$-作用を用い、軌道の集積点を分析する。
• 孤立性を検出する不変量として、コンラディアン・ソウル $C_< (G)$ と双順序凸部分群 $B_< (G)$ を用いる。
• デルワア順序の部分語性質（性質 S）を適用：$\alpha \in B_n^+$、$\beta \in B_n$ に対して $\beta \alpha \beta^{-1} \in P_D$。
• 写像 $sh: B_m \to B_n$（$m < n$）を用い、凸部分群をシフトされたブレード群として特定する。
• デルワア順序におけるすべての凸部分群が $sh^r(B_{n-r})$ に同型であり、$\langle \sigma_{n-1} \rangle$ を除いてすべてが双順序可能でないことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 群 $G$ の左順序が $LO(G)$ 内で孤立している条件は何か、特に非可算群に対して。
• RQ2 ブレード群 $B_n$ のデルワア順序 $P_D$ は $LO(B_n)$ 内で孤立点になり得るか。
• RQ3 可算群 $G$ の密度のある左順序の集合がどのような位相的構造を持つのか。
• RQ4 離散的左順序がなぜ孤立しないのか、その凸部分群構造がどのように影響するのか。
• RQ5 $LO(G)$ 内で密度のある順序の集合の閉包がカントール集合をなすかどうか、どのような条件下でそうなるか。

主な発見

• やや技術的制約の下で、群 $G$ の密度のある左順序は $LO(G)$ 内で孤立していない。
• $LO(G)$ 内で密度のある順序の集合の閉包は、カントール集合に位相的に同型な稠密な $G_{\delta}$ 部分集合である。
• $n > 2$ のブレード群 $B_n$ に対して、デルワア順序 $P_D$ は孤立点ではない。これは、その共役の集積点であるためである。
• ブレード群 $B_n$ のデルワア順序は離散的であり、最小の正の元は $\sigma_{n-1}$ であり、部分語性質を満たす。
• ブレード群 $B_n$ のデルワア順序におけるすべての凸部分群は、シフトされたブレード群 $sh^r(B_{n-r})$ に同型であり、$\langle \sigma_{n-1} \rangle$ を除いてすべてが双順序可能でない。
• なぜなら $P_D$ は $\langle \sigma_{n-1} \rangle$ を真に含む非自明な双順序可能な凸部分群をもたないため、定理 4.9 より孤立点ではない。