[論文レビュー] Isolation of cuspidal spectrum, with application to the Gan--Gross--Prasad conjecture

Raphaël Beuzart-Plessis, Yifeng Liu+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 16, 2019

Advanced Algebra and Geometry参考文献 38被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、アデール群のシュワーツ代数上にマルチプライヤーを用いる新規技法を導入し、トレース公式のスペクトル側で特定のカスプ形式的アーベル形式的表現を分離する。この手法をジャケ・ラリスの相対的トレース公式に適用することで、ユニタリ群 $\mathrm{U}(n) \times \u005Cmathrm{U}(n+1)$ の安定的場合におけるグローバル・ガン＝グロス＝プラサド予想およびその発展形であるイチノ＝イケダ予想の完全な証明が得られる。

ABSTRACT

We introduce a new technique for isolating components on the spectral side of the trace formula. By applying it to the Jacquet--Rallis relative trace formula, we complete the proof of the global Gan--Gross--Prasad conjecture and its refinement Ichino--Ikeda conjecture for $\mathrm{U}(n) imes\mathrm{U}(n+1)$ in the stable case.

研究の動機と目的

• トレース公式のスペクトル側で特定のカスプ形式的アーベル形式的表現を分離する一般的手法の開発。
• 全 $L^2$-スペクトルにアクセスせずに個々のカスプ成分に到達するという長年の難問を克服すること。
• 新規の分離技法をジャケ・ラリスの相対的トレース公式に適用し、安定的場合におけるグローバル・ガン＝グロス＝プラサド予想を解決すること。
• この新規のスペクトル分離手法を用いて、$\mathrm{U}(n) \times \mathrm{U}(n+1)$ に対してイチノ＝イケダ予想を確立すること。

提案手法

• 著者らは、右正則表現を通じて $L^2$-スペクトルに連続的に作用する、シュワーツ畳み込み代数 $\mathcal{S}(G(\mathbb{A}_F))_K$ 上のマルチプライヤーを構成する。
• 左および右畳み込みと可換となるマルチプライヤー $\mu\star$ を定義し、これにより所定の既約適切表現 $\pi$ への作用を保ちながら、他のすべての非カスプ成分を消去できるようにする。
• この構成は、正則関数としてのマルチプライヤー関数と、フーリエ変換および作用素値フーリエ解析を用いたシュワーツ代数への拡張に依存する。
• 分解 $G^0 = Z^0 \times G^0_{\mathrm{der}}$ を用い、中心および導来群上の関数のテンソル積を通じてマルチプライヤーを構成し、シュワーツ関数およびそのフーリエ変換に関する既知の結果を活用する。
• 主な技術的道具は、$\mathcal{N}(\mathfrak{h}^*_{\mathbb{C}})^\mathsf{W}$-値マルチプライヤーを用いて、与えられた $\pi$-同型成分へのスペクトル射影を制御することにある。
• 双対性および連続性の議論を用いて、閉グラフ定理とシュワーツ関数上のフーリエ変換の単射性を組み合わせて、構成を拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トレース公式のスペクトル側で、全 $L^2$-スペクトルにアクセスせずに特定のカスプ形式的アーベル形式的表現 $\pi$ を分離することは可能か？
• RQ2 シュワーツ代数上に、$\pi$ への作用を保ちながら他のすべての非カスプ成分を消去するマルチプライヤーを構成することは可能か？
• RQ3 この分離技法を相対的トレース公式に適用し、ラングランズ・プログラムにおけるグローバル予想を証明することは可能か？
• RQ4 この方法は、$\pi$ が自身でカスプ形式的アーベル形式的でない場合でも、すべての非-CAP カスプ形式的表現に一様に適用可能か？
• RQ5 このアプローチを用いて、ユニタリ群の安定的場合におけるグローバル・ガン＝グロス＝プラサド予想およびイチノ＝イケダ予想を証明することは可能か？

主な発見

• 著者らは、$\mathcal{S}(G(\mathbb{A}_F))_K$ 上にマルチプライヤー $\mu\star$ を構成し、$\mathrm{R}(\mu\star f)$ が $L^2$-スペクトルをカスプスペクトル内の $\pi$-近似的同型部分空間へ写像するとともに、$\pi(\mu\star f) = \pi(f)$ を満たすことを示した。
• この方法により、$\pi_v$ がすべての $v$ において有限個の除いて $\operatorname{Ind}_P^G(\sigma_v)$ の部分表現でないという非誘導条件を満たす任意の既約適切表現 $\pi$ を正しく分離できる。
• この技法は $G = \mathrm{Res}_{F'/F}\mathrm{GL}_n$ に対しても適用可能であり、この場合、パラボリック部分群から誘導されるカスプ成分を含め、すべてのカスプ成分に対して成立する。
• この方法はコンパクト台付きテスト関数には効果を示さないため、構成においてシュワーツ関数の使用が不可欠であることが示された。
• 著者らは、ジャケ・ラリスの相対的トレース公式を用いて、$\mathrm{U}(n) \times \mathrm{U}(n+1)$ の安定的場合におけるグローバル・ガン＝グロス＝プラサド予想およびその発展形であるイチノ＝イケダ予想の証明を完全に完了した。
• この結果により、任意の $\pi$-同型成分へのスペクトル射影が、シュワーツ代数上での連続的かつ $\mathrm{R}$-可換なマルチプライヤーによって実現可能であることが示され、一様なスペクトル射影機構が確立された。